Schiefer Wurf: Unterrichtsplan mit Simulation

Dieser Unterrichtsplan zum schiefen Wurf nutzt eine kostenlose interaktive Simulation, damit die Lernenden in einer Unterrichtsstunde selbst entdecken, warum 45° die größte Wurfweite ergibt, warum 30° und 60° am selben Ort landen und warum eine Verdopplung der Geschwindigkeit die Weite vervierfacht. Alles ist einsatzbereit: Lernziele, Vorbereitung, Vorhersagefragen, eine Aktivität Schritt für Schritt mit einer Messtabelle und den Werten, die die Lernenden erhalten sollten, Diskussionsfragen mit Antworten, eine Erweiterung zum Luftwiderstand und Ideen zur Differenzierung. Die Zahlen unten stammen aus dem eigenen Modell der Simulation, sodass Sie die Arbeit der Lernenden auf einen Blick prüfen können.

Die Stunde im Überblick

• Stufe: Klassen 9–12 (Alter 14–18), einführende Physik oder Physik.
• Zeit: eine Unterrichtsstunde von 50–60 Minuten, plus eine optionale Erweiterung von 20 Minuten.
• Vorwissen: Geschwindigkeit als Vektor, Sinus und Kosinus für Komponenten, Bewegung mit konstanter Beschleunigung.
• Format: Paare an Laptops oder Tablets, oder die ganze Klasse mit einem Beamer.
• Simulation: Schiefer Wurf – Flugbahn und Luftwiderstand.

Lernziele

Am Ende der Stunde können die Lernenden:

1. den schiefen Wurf als zwei unabhängige Bewegungen beschreiben: konstante Geschwindigkeit waagerecht, konstante Beschleunigung g senkrecht.
2. Wurfweite, maximale Höhe und Flugdauer messen und mit Abwurfwinkel und Abwurfgeschwindigkeit in Beziehung setzen.
3. erklären, warum sich ergänzende Winkel dieselbe Wurfweite ergeben und warum 45° auf ebenem Boden ohne Luftwiderstand die größte Wurfweite liefert.
4. mit R = v²·sin2θ/g eine Wurfweite vorhersagen und sie dann prüfen.
5. (Erweiterung) beschreiben, wie der Luftwiderstand die Bahn verkürzt und den besten Abwurfwinkel senkt.

Was die Simulation leistet

Es hilft, das Modell zu kennen, bevor Sie damit unterrichten. Die Simulation hat vier Bildschirme:

• Einführung: Stellen Sie Abwurfhöhe (0–15 m), Abwurfwinkel (0–90°), Anfangsgeschwindigkeit (5–30 m/s) und Wurfkörper ein und drücken Sie dann auf Werfen. Ein Ziel liegt standardmäßig in 12 m Entfernung am Boden; ziehen Sie es oder nutzen Sie den Regler (1–80 m). Der Wurf zählt als Treffer, wenn er etwa 0,75 m um das Ziel landet.
• Vektoren: derselbe Abwurf, mit Pfeilen für vx, vy, die resultierende Geschwindigkeit v und die Beschleunigung.
• Luftwiderstand: ein Kontrollkästchen Luftwiderstand und ein Regler für die Höhe (0–9000 m) für einen Basketball, eine Stahlkugel oder einen Federball.
• Labor: Stellen Sie Masse, Durchmesser, Widerstandsbeiwert und Fallbeschleunigung ein (Erde 9,8, Mond 1,62, Mars 3,71 oder einen eigenen Wert).

Auf den Bildschirmen Einführung und Vektoren gibt es keinen Luftwiderstand, und g = 9,8 m/s². Das entspricht dem Lehrbuchmodell, die Formeln unten gelten also genau. Die Anzeige gibt Wurfweite, maximale Höhe und Flugdauer mit zwei Dezimalstellen an. Tippen Sie auf die Bahn, um einen Punkt zu untersuchen (Zeit, x, y), oder ziehen Sie auf der Zeichenfläche, um mit dem Maßband zu messen. Die letzten vier Bahnen bleiben zum Vergleich auf dem Bildschirm, bis Sie auf Bahnen löschen drücken.

Material und Vorbereitung vor dem Unterricht

Material: ein Gerät pro Paar (oder ein Beamer), die Messtabelle unten auf Papier oder in einem gemeinsamen Dokument und ein Taschenrechner.

Vorbereitung (10 Minuten, einmalig):

1. Öffnen Sie die Simulation und stellen Sie den Bildschirm Einführung auf Abwurfhöhe 0 m, Winkel 45°, Geschwindigkeit 15 m/s. Das sind auch die Standardwerte.
2. Klicken Sie auf Teilen und erstellen Sie für jede Klasse einen Link, zum Beispiel „Physik · 2. Stunde“. Der Link legt die aktuellen Einstellungen fest, sodass alle Lernenden gleich beginnen.
3. Optional: Fügen Sie auf dem Tab Fragen die drei Vorhersagefragen unten als „Vorher, als Vorhersage“ hinzu und setzen Sie das Häkchen bei Nach der Simulation noch einmal fragen. Die Lernenden müssen sich dann festlegen, bevor die Simulation freigeschaltet wird. Der Leitfaden Vorhersagen, beobachten, erklären erklärt, warum das funktioniert.
4. Veröffentlichen Sie den Link oder zeigen Sie im Präsentationsmodus den QR-Code, damit die Lernenden ihn von der Tafel scannen können.

Ablauf der Stunde

1. Einstieg und Vorhersagen (8 Minuten)

Zeigen Sie am Beamer einen Wurf unter 45°, ohne den Lernenden die Zahlen zu nennen. Bitten Sie sie dann, sich festzulegen, auf Papier oder am Link:

• P1. „Bei 15 m/s: Welcher Abwurfwinkel schickt den Ball am weitesten: 15°, 30°, 45°, 60° oder 75°?“
• P2. „Ball A wird unter 30° abgeworfen, Ball B unter 60°, mit derselben Geschwindigkeit. Welcher landet weiter: A, B oder gleich weit?“
• P3. „Wenn Sie die Abwurfgeschwindigkeit verdoppeln, wird die Wurfweite … gleich bleiben, sich verdoppeln, sich verdreifachen oder sich vervierfachen?“

Rechnen Sie damit, dass viele Lernende bei P1 60° wählen („höher heißt weiter“) und bei P2 A oder B. Korrigieren Sie noch niemanden.

2. Winkel und Wurfweite: Daten erheben (15 Minuten)

Die Paare bleiben auf dem Bildschirm Einführung mit Höhe 0 m und Geschwindigkeit 15 m/s. Sie werfen unter jedem Winkel der Tabelle, notieren die Anzeige und skizzieren jede Bahn. Die letzten beiden Spalten sind für Sie; lassen Sie sie auf der Schülerkopie leer.

Winkel	Wurfweite R (m)	Maximale Höhe H (m)	Flugdauer T (s)	Erwartetes R	Erwartetes H
15°				11,48	0,77
30°				19,88	2,87
45°				22,96	5,74
60°				19,88	8,61
75°				11,48	10,71

Erwartete Flugdauern: 0,79 s, 1,53 s, 2,16 s, 2,65 s und 2,96 s.

Sie ergeben sich aus R = v²·sin2θ/g, H = v²·sin²θ/(2g) und T = 2v·sinθ/g mit v = 15 m/s und g = 9,8 m/s². Für 45°: R = 225 × 1 / 9,8 = 22,96 m. Weil der Bildschirm Einführung keinen Luftwiderstand hat, sollten die Messwerte der Lernenden bis auf die letzte Stelle übereinstimmen. Wenn die Zahlen eines Paars abweichen, haben sie fast immer versehentlich die Abwurfhöhe oder die Geschwindigkeit verändert.

Bitten Sie die Paare dann, zwei Muster aufzuschreiben, die sie sehen. Gute Antworten: „R ist bei 15° und 75° gleich, und bei 30° und 60°“ und „H und T steigen mit dem Winkel weiter, aber R hat bei 45° sein Maximum.“

3. Geschwindigkeit und Wurfweite (7 Minuten)

Bleiben Sie bei 45° und werfen Sie mit 10, 15, 20 und 30 m/s. Erwartete Wurfweiten: 10,20 m, 22,96 m, 40,82 m und 91,84 m.

Fragen Sie: „Von 10 auf 20 m/s: Wie viel mal weiter?“ Antwort: 40,82 ÷ 10,20 = 4,0. Eine Verdopplung der Geschwindigkeit vervierfacht die Wurfweite. Lassen Sie die Lernenden P3 prüfen.

4. Vektoren: warum die Bahn eine Parabel ist (8 Minuten)

Wechseln Sie zum Bildschirm Vektoren bei 15 m/s und 45°. Schalten Sie vx, vy und die Beschleunigung ein, werfen Sie und tippen Sie auf verschiedene Punkte der Bahn.

Die Lernenden sollten bemerken:

• Der Pfeil vx ändert nie seine Länge: vx = 15 × cos45° = 10,61 m/s überall.
• Der Pfeil vy schrumpft am höchsten Punkt auf null und wächst dann nach unten.
• Der Beschleunigungspfeil ist überall gleich: g, senkrecht nach unten.

Fragen Sie: „Wie groß ist die Geschwindigkeit ganz oben?“ Viele Lernende sagen null. Die Sonde zeigt vy = 0, aber v = vx = 10,61 m/s. Konstante waagerechte Geschwindigkeit plus konstante senkrechte Beschleunigung ergibt genau eine Parabel.

5. Zielaufgabe (7 Minuten)

Zurück auf Einführung, bei 15 m/s mit dem Ziel in 12 m: „Finde zwei verschiedene Winkel, die das Ziel treffen.“

Das Lösen von 12 = 225·sin2θ/9,8 ergibt sin2θ = 0,523, also θ ≈ 15,8° oder 74,2°. Bei ganzzahligen Winkeln zählen 15°, 16°, 74° und 75° alle als Treffer; 16° und 74° landen am nächsten, bei 12,17 m. Paare, die einen Winkel finden und dann mit der Symmetrie (90° − θ) den anderen, haben die Hauptidee der Stunde verstanden.

6. Diskussion (8 Minuten)

Nutzen Sie diese Fragen mit der ganzen Klasse. Auf jede folgt eine kurze Antwort.

1. Warum landen 30° und 60° am selben Ort? Der Ball unter 60° bleibt länger in der Luft (2,65 s gegenüber 1,53 s), bewegt sich aber langsamer vorwärts (vx = 7,50 m/s gegenüber 12,99 m/s). Die Produkte sind gleich: 19,88 m. Mathematisch gilt sin60° = sin120°, also ist sin2θ für sich ergänzende Winkel gleich.
2. Warum ist 45° der beste Winkel? sin2θ hat seinen Maximalwert 1, wenn 2θ = 90°. Unter 45° landet der Ball zu früh; über 45° bewegt er sich zu langsam vorwärts.
3. Wie verhalten sich die maximalen Höhen bei 30° und 60°? 2,87 m gegenüber 8,61 m, ein Verhältnis von 1 zu 3, weil sin²30° = 0,25 und sin²60° = 0,75.
4. Fliegt eine Stahlkugel auf dem Bildschirm Einführung weiter als ein Basketball? Nein. Ohne Luftwiderstand kommt die Masse in keiner Gleichung vor, und beide folgen derselben Bahn.
5. Warum vervierfacht eine Verdopplung der Geschwindigkeit die Wurfweite? Sowohl die Zeit in der Luft als auch die waagerechte Geschwindigkeit verdoppeln sich, ihr Produkt steigt also auf das Vierfache.

Kehren Sie dann zu den Vorhersagen zurück. Wenn Sie den Link genutzt haben, öffnen Sie die Ergebnisse und zeigen Sie die Spalten „Vorhersage“ und „Danach“ nebeneinander. Die Lernenden sehen gern, wie viele ihre Meinung geändert haben.

7. Abschlusscheck (5 Minuten)

Zwei kurze Fragen, auf Papier oder als Zahlenfragen am Link:

• „Wie groß ist die Wurfweite bei 20 m/s und 45°?“ Antwort: 40,82 m (± 0,5 akzeptieren).
• „Welcher andere Winkel ergibt bei 15 m/s dieselbe Wurfweite wie 25°?“ Antwort: 65° (beide ergeben 17,59 m).

Der Leitfaden zur formativen Leistungsbewertung zeigt, wie Sie diese so einrichten, dass sie automatisch geprüft und klassenübergreifend verglichen werden.

Erweiterung: Luftwiderstand, Abwurfhöhe und andere Planeten

Nutzen Sie für starke Gruppen oder eine zweite Stunde die Bildschirme jenseits von Einführung.

Luftwiderstand. Wählen Sie auf dem Bildschirm Luftwiderstand den Basketball, 15 m/s, 45°, Meereshöhe, setzen Sie ein Häkchen bei Luftwiderstand und werfen Sie. Die Wurfweite sinkt von 22,96 m auf etwa 16,7 m, und die Anzeige zeigt darunter zum Vergleich die Werte ohne Luftwiderstand. Die Bahn ist nicht mehr symmetrisch: Sie fällt steiler ab, als sie gestiegen ist.

Vergleichen Sie dann Wurfkörper bei 45°:

Wurfkörper	Wurfweite mit Luftwiderstand	Bester Winkel mit Luftwiderstand
Stahlkugel	etwa 22,0 m	etwa 45°
Basketball	etwa 16,7 m	etwa 43° (40°–45° liegen innerhalb von 0,1 m)
Federball	etwa 4,0 m	etwa 34° (4,1 m)

Die Lehre daraus: Der Luftwiderstand spielt bei leichten Körpern mit großer Fläche die größte Rolle, und er drückt den besten Winkel unter 45°. Erhöhen Sie die Höhe auf 9000 m, und die Wurfweite des Basketballs wächst auf etwa 20,3 m, weil die Luft dünner ist.

Abwurfhöhe. Stellen Sie auf Einführung die Höhe auf 10 m, 15 m/s, 45°: Die Wurfweite wird 30,49 m. Jetzt ist 45° nicht mehr der beste Winkel. Um 36° ergeben etwa 31,4 m. Bitten Sie die Lernenden zu erklären, warum ein Abwurf von über der Landehöhe einen flacheren Wurf begünstigt.

Andere Planeten. Wählen Sie auf dem Bildschirm Labor ohne Luftwiderstand den Mond (g = 1,62 m/s²). Bei 15 m/s und 45° beträgt die Wurfweite 225 ÷ 1,62 = 138,89 m. Auf dem Mars (g = 3,71 m/s²) sind es 60,65 m. Fragen Sie: „Wie hängt die Wurfweite von g ab?“ Antwort: R ist umgekehrt proportional zu g.

Differenzierung

Unterstützung:

• Legen Sie die Startwerte am Link fest und geben Sie den Lernenden eine Tabelle mit bereits ausgefüllter Winkelspalte.
• Nutzen Sie drei Winkel (30°, 45°, 60°) statt fünf.
• Geben Sie Satzanfänge für die Muster: „Wenn der Winkel von 45° auf 60° steigt, die Wurfweite …“
• Bilden Sie Paare, in denen eine Person die Simulation bedient und die andere protokolliert, und tauschen Sie zur Hälfte.

Herausforderung:

• Leiten Sie R = v²·sin2θ/g aus den Komponentengleichungen her, bevor Sie es in der Simulation prüfen.
• Finden Sie durch Probieren den besten Winkel von einer Plattform in 10 m Höhe und erklären Sie das Ergebnis.
• Sagen Sie die Wurfweite des Basketballs mit Luftwiderstand voraus, bevor Sie werfen, und erklären Sie, warum keine einfache Formel sie liefert.
• Finden Sie auf dem Bildschirm Labor, welches eigene g einen Wurf mit 15 m/s und 45° genau 50 m weit schickt (g = 225 ÷ 50 = 4,5 m/s²), und testen Sie es.

Lernende mit Deutsch als Zweitsprache: Die Simulation gibt es in sechs Sprachen. Erstellen Sie einen zweiten Link in der Sprache der Lernenden, damit ihnen die Beschriftungen vertraut sind, während das Gespräch im Unterricht auf Deutsch bleibt.

Zuordnung zu Standards

Diese Stunde passt zu typischen Einheiten der Kinematik in der Oberstufe zur zweidimensionalen Bewegung und zum schiefen Wurf, einschließlich der Kinematikeinheit von AP Physics 1 (US-Kurs). Die NGSS (US-Standards für die Naturwissenschaften) haben keine eigene Leistungserwartung zum schiefen Wurf, wir behaupten also keine. Die Stunde übt drei NGSS-Praktiken: Untersuchungen planen und durchführen, Daten analysieren und interpretieren sowie Mathematik und algorithmisches Denken einsetzen.

Eine vollständige Forschungsstruktur um diese Aktivität finden Sie im Leitfaden zum 5E-Unterrichtsplan, und für einen Versuchsbericht lesen Sie So erstellen Sie eine virtuelle Laboraktivität.

Häufige Fragen

Enthält die Simulation Luftwiderstand?

Nur auf den Bildschirmen Luftwiderstand und Labor, und nur wenn Sie ein Häkchen bei Luftwiderstand setzen. Die Bildschirme Einführung und Vektoren nutzen das ideale Modell ohne Luftwiderstand und mit g = 9,8 m/s².

Warum weichen die Zahlen meiner Lernenden leicht von einem Lehrbuch ab, das g = 10 verwendet?

Die Simulation nutzt g = 9,8 m/s². Mit g = 10 wäre die Wurfweite bei 45° und 15 m/s 22,50 m statt 22,96 m. Sagen Sie den Lernenden, welchen Wert sie verwenden sollen, bevor sie rechnen.

Können die Lernenden diese Stunde auf Smartphones durchführen?

Ja. Die Lernenden öffnen den Link ohne Konto, und die Bedienelemente funktionieren auf Touchscreens. An einem Tablet oder Laptop lassen sich die Anzeige leichter lesen und die Tabelle leichter ausfüllen.

Wie lange dauert die Erweiterung?

Etwa 20 Minuten allein für den Vergleich mit Luftwiderstand. Abwurfhöhe und andere Planeten kosten je 10 Minuten zusätzlich.