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Newtons Kanone 3D – zurückfallen, die Erde umkreisen oder entkommen

PhysikGravitation und AstronomieAlter 16–17

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Feuern Sie eine Kugel waagerecht vom Gipfel eines sehr hohen Berges auf einer 3D-Erde ab. Ihre Bewegung wird numerisch mit einer Gravitation proportional zu 1/r² berechnet: Langsam fällt sie zurück, bei etwa 7,9 km/s (nahe der Oberfläche) läuft sie auf einer Kreisbahn, noch schneller auf einer Ellipse, und ab 11,2 km/s entkommt sie der Erde.

Lektion: Kreisbahngeschwindigkeit und Fluchtgeschwindigkeit; Bahn eines waagerecht abgeschossenen Körpers um die Erde

Was sie zeigt

Newton stellte sich eine Kanone auf einem Berg vor, der so hoch ist, dass der Luftwiderstand keine Rolle spielt. Langsam abgefeuert, fällt die Kugel zurück; schneller abgefeuert, krümmt sich der Boden unter ihr genauso schnell weg, wie sie fällt, und sie umkreist die Erde. Hier wirkt auf die Kugel nur die Erdanziehung F = GMm/r², und ihre Bahn wird Schritt für Schritt mit dem Runge-Kutta-Verfahren auf einem drehbaren 3D-Globus berechnet. Kreisbahngeschwindigkeit √(GM/r) und Fluchtgeschwindigkeit √(2GM/r) werden für die gewählte Höhe angegeben; nahe der Oberfläche betragen sie 7,9 und 11,2 km/s.

So funktioniert es

Stellen Sie v₀ und Berghöhe h ein, sagen Sie das Ergebnis voraus und klicken Sie auf Feuern. Die Schaltflächen v₀ = vI (Kreis) und v₀ = vII (Flucht) wählen die genauen Geschwindigkeiten für diese Höhe. Aktivieren Sie Bahnen behalten, um Schüsse nach Farbe zu vergleichen: Rot fällt zurück, Orange und Grün sind Ellipsen, Gelb ist eine Kreisbahn und Blau entkommt. Nutzen Sie Zeitraffer, Pause und Bahnen löschen, ziehen Sie zum Drehen und klicken Sie auf Startansicht.

Einstellbare Parameter

  • Abschussgeschwindigkeit v₀ 1–14 km/s
  • Berghöhe h 100–2000 km
  • Zeitraffer (×100) 1–30
  • Bahnen früherer Schüsse behalten

Fragen zum Erkunden

  1. Warum fällt eine mit 7 km/s aus 400 km Höhe abgefeuerte Kugel zurück, obwohl sie Tausende Kilometer weit fliegt?
  2. Wie ändern sich der fernste Bahnpunkt und die Umlaufzeit, wenn v₀ von der Kreisbahn- zur Fluchtgeschwindigkeit steigt?
  3. Wie groß ist das Verhältnis von Flucht- zu Kreisbahngeschwindigkeit, und hängt es von der Höhe h ab?

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