RPP Fungsi Kuadrat dengan Grafik Interaktif
Diperbarui 2026-10-02
RPP fungsi kuadrat ini memakai simulasi grafik interaktif gratis agar siswa bisa melihat, dalam satu jam pelajaran, apa sebenarnya yang dilakukan setiap koefisien pada y = ax² + bx + c terhadap parabola. Mereka menemukan mengapa mengubah a menggeser titik puncak ke samping, bagaimana diskriminan memprediksi banyaknya akar, dan bagaimana bentuk puncak serta bentuk umum menggambarkan kurva yang sama. Anda mendapat tujuan pembelajaran, persiapan, prediksi, kegiatan langkah demi langkah dengan nilai yang seharusnya ditemukan siswa, lima pertanyaan untuk tautan kelas, pengayaan tabel perubahan, serta ide diferensiasi. Setiap nilai sudah diperiksa terhadap perhitungan simulasi itu sendiri.
Pelajaran sekilas
- Jenjang: kelas 9–11 (usia 14–17), Aljabar 1 atau Aljabar 2.
- Waktu: satu jam pelajaran 50–60 menit, ditambah pengayaan opsional 20 menit.
- Pengetahuan prasyarat: memplot titik, menyelesaikan persamaan kuadrat sederhana, menjabarkan (x − h)².
- Format: berpasangan dengan laptop, tablet, atau ponsel, atau seluruh kelas dengan satu proyektor.
- Simulasi: Grafik fungsi kuadrat – koefisien, bentuk puncak, fokus, dan direktriks. Pengayaan: Fungsi kuadrat – titik puncak, sumbu simetri, tabel perubahan.
Tujuan pembelajaran
Di akhir pelajaran, siswa dapat:
- Menggambarkan pengaruh a, b, dan c pada grafik y = ax² + bx + c.
- Mencari titik puncak dengan x = −b/2a dan sumbu simetri dari sebuah persamaan.
- Memakai diskriminan b² − 4ac untuk memprediksi apakah ada dua, satu, atau tidak ada akar real.
- Mengonversi antara bentuk puncak y = a(x − h)² + k dan bentuk umum.
- Menulis persamaan parabola dari titik puncaknya dan satu titik.
Apa yang dilakukan simulasi
Grafik berjalan dari −10 sampai 10 pada kedua sumbu. Ada empat layar:
- Jelajahi: penggeser untuk a (−4 sampai 4, kelipatan 0,1), b dan c (−8 sampai 8, kelipatan 0,5). Centang Suku ax², bx, c terpisah untuk melihat ketiga bagian sebagai kurva putus-putus di samping jumlahnya. Jika a = 0, sebuah catatan menyebutkan grafiknya kini berupa garis lurus.
- Bentuk umum: koefisien bilangan bulat yang diatur dengan tombol − dan +: a dari −6 sampai 6 (tidak pernah 0), b dan c dari −10 sampai 10. Kotak centang menampilkan Titik puncak, Sumbu simetri, Akar-akar, dan Potong sumbu y. Keluaran memberi diskriminan, banyaknya akar, dan titik puncak, misalnya "Δ = b² − 4ac = 4 → dua akar berbeda. Titik puncak I(−b/2a, −Δ/4a) = I(2, −1); terbuka ke atas (a > 0)."
- Bentuk puncak: penggeser untuk a, h, dan k, atau seret titik puncak langsung melintasi grafik. Keluaran memberi bentuk umum yang setara.
- Fokus: pengayaan tentang fokus dan direktriks.
Dua catatan notasi sebelum kelas. Simulasi menulis diskriminan sebagai Δ, yang oleh banyak buku teks AS disebut D atau sekadar b² − 4ac. Simulasi juga melabeli titik puncak I dan menulis koordinat pada grafik dengan titik koma, seperti I(2; −1). Beri tahu siswa bahwa I(2; −1) berarti titik (2, −1).
Bahan dan persiapan sebelum kelas
Bahan: satu perangkat per pasangan (atau proyektor), tabel di bawah di atas kertas, dan papan tulis mini untuk sketsa.
Persiapan (10 menit, sekali saja):
- Buka simulasi pada layar Jelajahi dengan a = 1, b = 0, dan c = 0, sehingga menampilkan y = x². Itulah nilai bawaannya.
- Klik Bagikan dan buat tautan untuk setiap kelas, misalnya "Aljabar · Jam ke-5". Tautan menyematkan nilai awal ini.
- Opsional: di tab Pertanyaan, masukkan set pertanyaan di bawah dan lampirkan pada tautan.
- Bagikan tautan, atau buka dalam mode presentasi dan tampilkan kode QR.
Urutan pelajaran
1. Pembuka dan prediksi (7 menit)
Proyeksikan y = x² − 4x + 3 pada layar Bentuk umum dengan semuanya dicentang. Tunjukkan akar-akarnya (1 dan 3), titik puncak (2, −1), dan sumbu x = 2. Lalu minta siswa mengunci dua prediksi, di kertas atau di tautan:
- P1. "Anda mengubah hanya c, dari 3 menjadi 5. Apa yang terjadi pada parabola?"
- P2. "Anda mengembalikan c ke 3 dan mengubah a dari 1 menjadi 2. Di mana titik puncak yang baru?"
Untuk P2 kebanyakan siswa berkata "masih di (2, −1), hanya lebih sempit". Jangan koreksi siapa pun dulu.
2. Jelajahi: apa yang dilakukan a, b, dan c? (10 menit)
Pada Jelajahi, pasangan menggerakkan satu penggeser setiap kali dan menulis satu kalimat untuk masing-masing.
- a: a positif membuka ke atas, a negatif membuka ke bawah. Makin besar |a|, makin sempit kurvanya. Pada a = 0 grafik menjadi garis.
- c: seluruh kurva bergeser naik atau turun. Titik potong sumbu y selalu (0, c).
- b: kejutannya. Atur a = 1 dan c = 0, lalu coba b = −4, −2, 2, dan 4. Titik puncak berpindah ke (2, −4), (1, −1), (−1, −1), dan (−2, −4).
Tanyakan: "Lintasan apa yang diikuti titik puncak saat b berubah?" Siswa memplot keempat titik dan melihatnya: titik puncak bergeser sepanjang parabola terbalik y = −x². Centang Suku ax², bx, c terpisah untuk melihat alasannya. Suku bx adalah garis miring yang menarik dasar kurva ke samping dan ke bawah.
3. Bentuk umum: titik puncak, diskriminan, dan akar (15 menit)
Beralih ke Bentuk umum. Pasangan mengatur setiap baris dengan tombol − dan + dan menyalin keluarannya. Tiga kolom terakhir untuk Anda; biarkan kosong pada salinan siswa.
| a | b | c | Δ yang diharapkan | Titik puncak yang diharapkan | Akar yang diharapkan |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | −4 | 3 | 4 | (2, −1) | 1 dan 3 |
| 1 | −4 | 4 | 0 | (2, 0) | akar kembar 2 |
| 1 | −4 | 5 | −4 | (2, 1) | tidak ada |
| 2 | −4 | 3 | −8 | (1, 1) | tidak ada |
| 1 | −2 | −3 | 16 | (1, −4) | −1 dan 3 |
| −1 | 2 | 3 | 16 | (1, 4) | −1 dan 3 |
| 2 | −4 | −6 | 64 | (1, −8) | −1 dan 3 |
| 1 | 0 | −5 | 20 | (0, −5) | −2,24 dan 2,24 |
Simulasi menghitung ini secara tepat dan membulatkan akar ke dua desimal, sehingga bacaan seharusnya cocok. Minta pasangan menulis tiga pola. Jawaban yang baik:
- "Saat Δ positif ada dua akar, nol memberi satu akar, negatif tidak memberi akar."
- "Titik puncak selalu tepat di tengah antara kedua akar."
- "Baris 5, 6, dan 7 tampak berbeda tetapi semuanya memiliki akar −1 dan 3."
Sekarang periksa prediksinya. P1: dari c = 3 ke c = 5 kurva naik 2, titik puncak berpindah dari (2, −1) ke (2, 1), dan akar-akarnya hilang. P2: dengan a = 2 titik puncak melompat ke (1, 1), karena x = −b/2a = 4/4 = 1. Mengubah a juga mengubah sumbu simetri.
Mengapa y = x² − 2x − 3, y = −x² + 2x + 3, dan y = 2x² − 4x − 6 memiliki akar yang sama? Masing-masing adalah kelipatan dari (x + 1)(x − 3). Mengalikan dengan konstanta meregangkan atau membalik kurva tetapi tidak pernah menggeser titik tempat y = 0. Siswa juga bisa memeriksa jalan pintasnya: untuk 2x² − 4x − 6 jumlah akarnya 2 (= −b/a) dan hasil kalinya −3 (= c/a).
4. Bentuk puncak (10 menit)
Beralih ke Bentuk puncak. Nilai bawaannya y = (x − 2)² − 1, dan keluaran memberi bentuk umumnya: y = x² − 4x + 3. Itulah kurva dari pembuka, kini ditulis untuk menunjukkan titik puncaknya.
Pasangan memprediksi bentuk umum untuk setiap baris, lalu mengatur penggeser untuk memeriksanya:
| a | h | k | Bentuk puncak | Bentuk umum |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | −1 | y = (x − 2)² − 1 | y = x² − 4x + 3 |
| 2 | −1 | 3 | y = 2(x + 1)² + 3 | y = 2x² + 4x + 5 |
| −1 | 3 | 4 | y = −(x − 3)² + 4 | y = −x² + 6x − 5 |
| 0,5 | 2 | −2 | y = 0,5(x − 2)² − 2 | y = 0,5x² − 2x |
Keluaran mengingatkan siswa pada aturannya: b = −2ah dan c = ah² + k. Baris kedua menangkap kesalahan tanda yang klasik. h = −1 ditulis (x + 1), dan titik puncak berada di x = −1, bukan 1.
Tantangan: "Sebuah parabola memiliki titik puncak di (1, −8) dan melalui (3, 0). Cari persamaannya." Substitusi memberi a(3 − 1)² − 8 = 0, sehingga a = 2 dan y = 2(x − 1)² − 8 = 2x² − 4x − 6. Siswa memeriksanya pada layar Bentuk umum: itu baris dengan Δ = 64 dan akar −1 dan 3.
5. Pengecekan penutup (5 menit)
Gunakan pertanyaan 3–5 dari set di bawah. Lalu buka Lihat jawaban dan bandingkan kolom Prediksi dan Sesudah untuk P1 dan P2.
Set pertanyaan untuk pelajaran ini
Masukkan ini di tab Pertanyaan simulasi. Petunjuk untuk siswa yang disarankan: "Pakai layar Bentuk umum dan Bentuk puncak. Ubah satu koefisien setiap kali dan baca nilai di bawah grafik."
1. Pilihan ganda · Sebelumnya, sebagai prediksi · Tanyakan lagi setelah simulasi
- Pertanyaan: "y = x² − 4x + 3 memiliki akar 1 dan 3. Anda mengubah hanya c, dari 3 menjadi 5. Apa yang terjadi?"
- Pilihan: Parabola bergeser 2 satuan ke kanan / Parabola bergeser 2 satuan ke atas dan tidak lagi memotong sumbu x (benar) / Parabola menjadi lebih sempit / Akarnya menjadi 1 dan 5
- Penjelasan: "c ditambahkan ke setiap nilai y, sehingga seluruh kurva naik 2. Titik puncak berpindah dari (2, −1) ke (2, 1), di atas sumbu x, sehingga tidak ada akar real. Diskriminan sepakat: 16 − 20 = −4."
2. Pilihan ganda · Sebelumnya, sebagai prediksi · Tanyakan lagi setelah simulasi
- Pertanyaan: "Mulai lagi dari y = x² − 4x + 3, dengan titik puncak di (2, −1). Anda mengubah a dari 1 menjadi 2. Di mana titik puncak yang baru?"
- Pilihan: (2, −1) / (2, −2) / (1, 1) (benar) / (1, −1)
- Penjelasan: "Titik puncak berada di x = −b/2a. Dengan a = 2 dan b = −4 itu 4/4 = 1, dan y = 2 − 4 + 3 = 1. Mengubah a tidak hanya membuat kurva lebih sempit: ia juga menggeser sumbu simetri."
3. Angka · Setelah simulasi
- Pertanyaan: "Pada layar Bentuk umum, atur a = 2, b = −4, dan c = −6. Berapa diskriminannya?"
- Jawaban: 64, toleransi 0
- Penjelasan: "Δ = b² − 4ac = 16 − 4 × 2 × (−6) = 16 + 48 = 64. Nilainya positif, sehingga ada dua akar: −1 dan 3."
4. Angka · Setelah simulasi
- Pertanyaan: "Pada layar Bentuk puncak, atur a = 2, h = −1, dan k = 3. Jika ditulis sebagai y = ax² + bx + c, berapa c?"
- Jawaban: 5, toleransi 0
- Penjelasan: "c = ah² + k = 2 × (−1)² + 3 = 5. Bentuk umum lengkapnya y = 2x² + 4x + 5. Periksa pada keluaran di bawah grafik."
5. Jawaban singkat · Setelah simulasi
- Pertanyaan: "y = x² − 2x − 3 dan y = 2x² − 4x − 6 memiliki akar yang sama tetapi titik puncak berbeda. Mengapa?"
- Jawaban yang diterima (opsional): kosongkan dan baca sendiri jawabannya.
- Contoh jawaban: "Fungsi kedua adalah 2 kali fungsi pertama. Mengalikan setiap nilai y dengan 2 meregangkan kurva secara tegak, sehingga titik puncak berpindah dari (1, −4) ke (1, −8), tetapi titik tempat y = 0 tetap di 0. Keduanya memiliki akar −1 dan 3."
Pertanyaan 1 dan 2 adalah prediksi, ditanyakan lagi setelah simulasi. Panduan penilaian formatif menjelaskan cara membaca hasil di berbagai kelas.
Pengayaan: tabel perubahan dan nilai maksimum
Untuk pelajaran kedua, buka simulasi titik puncak dan tabel perubahan. Simulasi ini memiliki penggeser untuk a, b, dan c, titik puncak yang bisa diseret, dan tabel perubahan dengan panah yang mengikuti tanda a.
Atur a = −1, b = 6, dan c = −5. Siswa seharusnya menemukan:
- titik puncak I(3; 4) dan sumbu x = 3;
- nilai maksimum 4, karena a < 0;
- "naik pada (−∞; 3), turun pada (3; +∞)" di keluaran;
- titik potong sumbu x 1 dan 5, dan titik potong sumbu y (0; −5).
Ini baris ketiga pada tabel bentuk puncak, sehingga siswa bertemu kurva yang sama dengan cara ketiga. Lalu minta mereka menyeret titik puncak ke (1, −2) dan membaca b dan c yang baru (b = 2, c = −3 saat a = −1). Penyeretan menempel pada kelipatan 0,25.
Layar Fokus pada simulasi utama adalah tugas peregangan singkat. Dengan nilai bawaan, titik P(2, 1) berjarak 2 satuan dari fokus (0, 1) dan 2 satuan dari direktriks y = −1. Seret P ke mana saja: kedua jarak tetap sama.
Diferensiasi
Dukungan:
- Kerjakan langkah 3 dengan hanya empat baris pertama, semuanya dengan a = 1 atau 2.
- Berikan kartu rumus: titik puncak x = −b/2a, Δ = b² − 4ac.
- Berikan awal kalimat: "Saat Δ negatif, parabola…"
- Biarkan siswa menyeret titik puncak pada layar Bentuk puncak sebelum menulis persamaan apa pun.
Tantangan:
- Jelaskan secara aljabar mengapa titik puncak mengikuti y = −x² saat b berubah (dengan a = 1 dan c = 0, titik puncaknya (−b/2, −b²/4)).
- Cari semua nilai bulat c yang membuat y = x² − 4x + c memiliki dua akar (c < 4), lalu uji.
- Tulis dua fungsi kuadrat berbeda dengan akar −2 dan 2 dan periksa pada layar Bentuk umum (misalnya y = x² − 4 dan y = −2x² + 8).
Pembelajar bahasa Inggris: simulasi tersedia dalam enam bahasa. Buat tautan kedua dalam bahasa siswa agar label terasa akrab sementara diskusi tetap dalam bahasa Inggris.
Keselarasan dengan standar
Pelajaran ini mendukung Common Core HSF-IF.C.7a (menggambar grafik fungsi kuadrat, menunjukkan titik potong, maksimum, dan minimum), HSF-IF.C.8a (memakai pemfaktoran dan melengkapkan kuadrat untuk menunjukkan nol, nilai ekstrem, dan simetri), HSF-BF.B.3 (mengidentifikasi pengaruh f(x) + k dan k·f(x) pada grafik) dan HSA-SSE.B.3. Ini adalah standar matematika AS. Pelajaran ini juga sesuai dengan topik fungsi kuadrat pada GCSE Mathematics (Higher) (kurikulum Inggris).
Untuk kegiatan matematika lainnya, lihat kegiatan matematika interaktif. Untuk rutinitas kelas, lihat cara memakai simulasi interaktif di kelas.
Pertanyaan umum
Mengapa simulasi menulis I(2; −1)?
Simulasi melabeli titik puncak I dan memisahkan koordinat dengan titik koma pada grafik, konvensi yang dipakai di banyak negara. I(2; −1) adalah titik (2, −1). Keluaran di bawah grafik memakai koma.
Bisakah a bernilai nol?
Tidak pada layar Bentuk umum atau Bentuk puncak: a melewati 0. Pada Jelajahi Anda bisa mengatur a = 0, dan sebuah catatan menjelaskan bahwa grafik itu kemudian berupa garis lurus, bukan fungsi kuadrat.
Apakah simulasi menampilkan bentuk faktor?
Tidak. Ia menampilkan bentuk umum dan bentuk puncak. Pakai akar yang ditampilkan untuk menulis bentuk faktornya sendiri: akar −1 dan 3 dengan a = 2 memberi y = 2(x + 1)(x − 3).
Bisakah siswa mengerjakan pelajaran ini di ponsel?
Bisa. Siswa membuka tautan tanpa akun, dan tombol, penggeser, serta titik puncak yang bisa diseret berfungsi di layar sentuh. Tablet atau laptop memudahkan membaca label pada grafik.