Fonctions du second degré : plan de leçon et graphiques

Ce plan de leçon sur les fonctions du second degré utilise une simulation graphique interactive gratuite pour que les élèves voient, en une seule séance, ce que fait réellement chaque coefficient de y = ax² + bx + c à la parabole. Ils découvrent pourquoi changer a déplace le sommet sur le côté, comment le discriminant prédit le nombre de racines, et comment la forme canonique et la forme développée décrivent la même courbe. Vous obtenez des objectifs d'apprentissage, la préparation, des prédictions, une activité pas à pas avec les valeurs que les élèves doivent trouver, une série de cinq questions pour le lien de la classe, un prolongement sur le tableau de variations et des idées de différenciation. Chaque valeur a été vérifiée avec les calculs de la simulation elle-même.

La leçon en un coup d'œil

• Niveau : de la 3e à la 1re (14 à 17 ans), mathématiques, chapitre sur les fonctions polynômes du second degré.
• Durée : une séance de 50 à 60 minutes, plus un prolongement facultatif de 20 minutes.
• Prérequis : placer des points, résoudre des équations simples du second degré, développer (x − h)².
• Format : en binômes sur ordinateurs portables, tablettes ou téléphones, ou classe entière avec un seul vidéoprojecteur.
• Simulation : Représenter une fonction du second degré – coefficients, forme canonique, foyer et directrice. Prolongement : Fonction du second degré – sommet, axe de symétrie, tableau de variations.

Objectifs d'apprentissage

À la fin de la leçon, les élèves savent :

1. Décrire l'effet de a, b et c sur la courbe de y = ax² + bx + c.
2. Trouver le sommet avec x = −b/2a et l'axe de symétrie à partir d'une équation.
3. Utiliser le discriminant b² − 4ac pour prédire s'il y a deux, une ou aucune racine réelle.
4. Passer de la forme canonique y = a(x − h)² + k à la forme développée, et inversement.
5. Écrire l'équation d'une parabole à partir de son sommet et d'un point.

Ce que fait la simulation

Le graphique va de −10 à 10 sur les deux axes. Il y a quatre écrans :

• Explorer : des curseurs pour a (de −4 à 4, par pas de 0,1), b et c (de −8 à 8, par pas de 0,5). Cochez Termes ax², bx, c séparés pour voir les trois morceaux sous forme de courbes en pointillés à côté de leur somme. Si a = 0, une note indique que le graphique est maintenant une droite.
• Forme développée : des coefficients entiers réglés avec les boutons − et + : a de −6 à 6 (jamais 0), b et c de −10 à 10. Des cases à cocher affichent le Sommet, l'Axe de symétrie, les Racines et l'Ordonnée à l'origine. L'affichage donne le discriminant, le nombre de racines et le sommet, par exemple « Δ = b² − 4ac = 4 → deux racines distinctes. Sommet I(−b/2a, −Δ/4a) = I(2, −1) ; tournée vers le haut (a > 0). »
• Forme canonique : des curseurs pour a, h et k, ou faites glisser le sommet directement sur le graphique. L'affichage donne la forme développée équivalente.
• Foyer : un prolongement sur le foyer et la directrice.

Une remarque de notation avant la classe : la simulation nomme le sommet I et écrit les coordonnées sur le graphique avec un point-virgule, comme dans I(2 ; −1). Dites aux élèves que I(2 ; −1) désigne le point (2 ; −1).

Matériel et préparation avant la classe

Matériel : un appareil par binôme (ou un vidéoprojecteur), les tableaux ci-dessous sur papier, et des ardoises pour les esquisses.

Préparation (10 minutes, une seule fois) :

1. Ouvrez la simulation sur l'écran Explorer avec a = 1, b = 0 et c = 0, de sorte qu'elle affiche y = x². Ce sont les réglages par défaut.
2. Cliquez sur Partager et créez un lien pour chaque classe, par exemple « Mathématiques · 2de C ». Le lien fixe ces valeurs de départ.
3. Facultatif : dans l'onglet Questions, saisissez la série de questions ci-dessous et associez-la au lien.
4. Publiez le lien, ou ouvrez-le en mode présentation et montrez le QR code.

Déroulé de la leçon

1. Accroche et prédictions (7 minutes)

Projetez y = x² − 4x + 3 sur l'écran Forme développée avec tout coché. Montrez les racines (1 et 3), le sommet (2 ; −1) et l'axe x = 2. Faites ensuite s'engager les élèves sur deux prédictions, sur papier ou sur le lien :

• P1. « Vous changez seulement c, de 3 à 5. Que devient la parabole ? »
• P2. « Vous remettez c à 3 et vous changez a de 1 à 2. Où est le nouveau sommet ? »

Pour P2, la plupart des élèves disent « toujours en (2 ; −1), simplement plus étroite ». Ne corrigez encore personne.

2. Explorer : que font a, b et c ? (10 minutes)

Sur Explorer, les binômes déplacent un curseur à la fois et écrivent une phrase pour chacun.

• a : un a positif ouvre vers le haut, un a négatif ouvre vers le bas. Plus |a| est grand, plus la courbe est étroite. À a = 0, le graphique devient une droite.
• c : toute la courbe glisse vers le haut ou vers le bas. L'ordonnée à l'origine est toujours (0 ; c).
• b : la surprise. Réglez a = 1 et c = 0, puis essayez b = −4, −2, 2 et 4. Le sommet se déplace en (2 ; −4), (1 ; −1), (−1 ; −1) et (−2 ; −4).

Demandez : « Quel chemin le sommet suit-il quand b change ? » Les élèves placent les quatre points et le repèrent : le sommet glisse le long de la parabole tournée vers le bas y = −x². Cochez Termes ax², bx, c séparés pour voir pourquoi. Le terme bx est une droite inclinée qui entraîne le bas de la courbe sur le côté et vers le bas.

3. Forme développée : sommet, discriminant et racines (15 minutes)

Passez sur Forme développée. Les binômes règlent chaque ligne avec les boutons − et + et recopient l'affichage. Les trois dernières colonnes sont pour vous ; laissez-les vides sur la copie des élèves.

a	b	c	Δ attendu	Sommet attendu	Racines attendues
1	−4	3	4	(2 ; −1)	1 et 3
1	−4	4	0	(2 ; 0)	racine double 2
1	−4	5	−4	(2 ; 1)	aucune
2	−4	3	−8	(1 ; 1)	aucune
1	−2	−3	16	(1 ; −4)	−1 et 3
−1	2	3	16	(1 ; 4)	−1 et 3
2	−4	−6	64	(1 ; −8)	−1 et 3
1	0	−5	20	(0 ; −5)	−2,24 et 2,24

La simulation les calcule exactement et arrondit les racines à deux décimales, donc les mesures doivent coïncider. Demandez aux binômes trois régularités. Bonnes réponses :

• « Quand Δ est positif, il y a deux racines, zéro en donne une, négatif n'en donne aucune. »
• « Le sommet est toujours à mi-chemin entre les deux racines. »
• « Les lignes 5, 6 et 7 ont l'air différentes mais ont toutes les racines −1 et 3. »

Vérifiez maintenant les prédictions. P1 : de c = 3 à c = 5, la courbe monte de 2, le sommet passe de (2 ; −1) à (2 ; 1) et les racines disparaissent. P2 : avec a = 2, le sommet saute en (1 ; 1), parce que x = −b/2a = 4/4 = 1. Changer a change aussi l'axe de symétrie.

Pourquoi y = x² − 2x − 3, y = −x² + 2x + 3 et y = 2x² − 4x − 6 ont-elles les mêmes racines ? Chacune est un multiple de (x + 1)(x − 3). Multiplier par une constante étire ou retourne la courbe mais ne déplace jamais les points où y = 0. Les élèves peuvent aussi vérifier les raccourcis : pour 2x² − 4x − 6, la somme des racines vaut 2 (= −b/a) et leur produit −3 (= c/a).

4. Forme canonique (10 minutes)

Passez sur Forme canonique. Le réglage par défaut est y = (x − 2)² − 1, et l'affichage donne sa forme développée : y = x² − 4x + 3. C'est la courbe de l'accroche, maintenant écrite de façon à montrer son sommet.

Les binômes prédisent la forme développée de chaque ligne, puis règlent les curseurs pour vérifier :

a	h	k	Forme canonique	Forme développée
1	2	−1	y = (x − 2)² − 1	y = x² − 4x + 3
2	−1	3	y = 2(x + 1)² + 3	y = 2x² + 4x + 5
−1	3	4	y = −(x − 3)² + 4	y = −x² + 6x − 5
0,5	2	−2	y = 0,5(x − 2)² − 2	y = 0,5x² − 2x

L'affichage rappelle la règle aux élèves : b = −2ah et c = ah² + k. La deuxième ligne piège l'erreur de signe classique. h = −1 s'écrit (x + 1), et le sommet est en x = −1, pas en 1.

Défi : « Une parabole a son sommet en (1 ; −8) et passe par (3 ; 0). Trouvez son équation. » En substituant, a(3 − 1)² − 8 = 0, donc a = 2 et y = 2(x − 1)² − 8 = 2x² − 4x − 6. Les élèves la vérifient sur l'écran Forme développée : c'est la ligne avec Δ = 64 et les racines −1 et 3.

5. Vérification de sortie (5 minutes)

Utilisez les questions 3 à 5 de la série ci-dessous. Ouvrez ensuite Voir les réponses et comparez les colonnes Prédiction et Après pour P1 et P2.

Série de questions pour cette leçon

Saisissez-les dans l'onglet Questions de la simulation. Consignes pour les élèves suggérées : « Utilisez les écrans Forme développée et Forme canonique. Changez un coefficient à la fois et lisez les valeurs sous le graphique. »

1. Choix multiple · Avant, comme prédiction · Reposer la question après la simulation

• Question : « y = x² − 4x + 3 a pour racines 1 et 3. Vous changez seulement c, de 3 à 5. Que se passe-t-il ? »
• Options : La parabole se déplace de 2 unités vers la droite / La parabole monte de 2 unités et ne coupe plus l'axe des abscisses (correct) / La parabole devient plus étroite / Les racines deviennent 1 et 5
• Explication : « c s'ajoute à chaque valeur de y, donc toute la courbe monte de 2. Le sommet passe de (2 ; −1) à (2 ; 1), au-dessus de l'axe des abscisses, donc il n'y a pas de racine réelle. Le discriminant est d'accord : 16 − 20 = −4. »

2. Choix multiple · Avant, comme prédiction · Reposer la question après la simulation

• Question : « Repartez de y = x² − 4x + 3, avec son sommet en (2 ; −1). Vous changez a de 1 à 2. Où est le nouveau sommet ? »
• Options : (2 ; −1) / (2 ; −2) / (1 ; 1) (correct) / (1 ; −1)
• Explication : « Le sommet est en x = −b/2a. Avec a = 2 et b = −4, cela fait 4/4 = 1, et y = 2 − 4 + 3 = 1. Changer a ne fait pas que rétrécir la courbe : cela déplace aussi l'axe de symétrie. »

3. Nombre · Après la simulation

• Question : « Sur l'écran Forme développée, réglez a = 2, b = −4 et c = −6. Quel est le discriminant ? »
• Réponse : 64, marge d'erreur 0
• Explication : « Δ = b² − 4ac = 16 − 4 × 2 × (−6) = 16 + 48 = 64. Il est positif, donc il y a deux racines : −1 et 3. »

4. Nombre · Après la simulation

• Question : « Sur l'écran Forme canonique, réglez a = 2, h = −1 et k = 3. Écrite sous la forme y = ax² + bx + c, quelle est la valeur de c ? »
• Réponse : 5, marge d'erreur 0
• Explication : « c = ah² + k = 2 × (−1)² + 3 = 5. La forme développée complète est y = 2x² + 4x + 5. Vérifiez-la dans l'affichage sous le graphique. »

5. Réponse courte · Après la simulation

• Question : « y = x² − 2x − 3 et y = 2x² − 4x − 6 ont les mêmes racines mais des sommets différents. Pourquoi ? »
• Réponses acceptées (facultatif) : laissez vide et lisez les réponses vous-même.
• Réponse modèle : « La seconde fonction vaut 2 fois la première. Multiplier chaque valeur de y par 2 étire la courbe verticalement, donc le sommet passe de (1 ; −4) à (1 ; −8), mais les points où y = 0 restent à 0. Les deux ont pour racines −1 et 3. »

Les questions 1 et 2 sont les prédictions, reposées après la simulation. Le guide de l'évaluation formative explique comment lire les résultats entre classes.

Prolongement : tableau de variations et valeur maximale

Pour une seconde séance, ouvrez la simulation du sommet et du tableau de variations. Elle propose des curseurs pour a, b et c, un sommet que l'on peut faire glisser et un tableau de variations dont les flèches suivent le signe de a.

Réglez a = −1, b = 6 et c = −5. Les élèves devraient trouver :

• le sommet I(3 ; 4) et l'axe x = 3 ;
• une valeur maximale de 4, parce que a < 0 ;
• « croissante sur ]−∞ ; 3], décroissante sur [3 ; +∞[ » dans l'affichage ;
• les intersections avec l'axe des abscisses 1 et 5, et l'ordonnée à l'origine (0 ; −5).

C'est la troisième ligne du tableau de la forme canonique, donc les élèves rencontrent la même courbe d'une troisième façon. Demandez-leur ensuite de faire glisser le sommet en (1 ; −2) et de lire les nouveaux b et c (b = 2, c = −3 quand a = −1). Le glissement se cale sur des pas de 0,25.

L'écran Foyer de la simulation principale est une courte tâche d'approfondissement. Avec les valeurs par défaut, le point P(2 ; 1) est à 2 unités du foyer (0 ; 1) et à 2 unités de la directrice y = −1. Faites glisser P où vous voulez : les deux distances restent égales.

Différenciation

Soutien :

• Faites l'étape 3 avec seulement les quatre premières lignes, toutes avec a = 1 ou 2.
• Donnez la fiche de formules : sommet x = −b/2a, Δ = b² − 4ac.
• Donnez des amorces de phrases : « Quand Δ est négatif, la parabole… »
• Laissez les élèves faire glisser le sommet sur l'écran Forme canonique avant d'écrire la moindre équation.

Approfondissement :

• Expliquer algébriquement pourquoi le sommet suit y = −x² quand b change (avec a = 1 et c = 0, le sommet est (−b/2 ; −b²/4)).
• Trouver toutes les valeurs entières de c pour lesquelles y = x² − 4x + c a deux racines (c < 4), puis les tester.
• Écrire deux fonctions du second degré différentes de racines −2 et 2 et les vérifier sur l'écran Forme développée (par exemple y = x² − 4 et y = −2x² + 8).

Élèves allophones : la simulation est disponible en six langues. Créez un second lien dans la langue de l'élève pour que les libellés lui soient familiers pendant que la discussion reste en français.

Lien avec les référentiels

Cette leçon répond aux attentes de la fonction du second degré du programme de mathématiques du lycée français (forme canonique, discriminant, sommet, signe). Elle s'appuie aussi sur les standards américains Common Core HSF-IF.C.7a (représenter des fonctions du second degré en indiquant les intersections avec les axes, maxima et minima), HSF-IF.C.8a (utiliser la factorisation et la complétion du carré pour montrer les zéros, les valeurs extrêmes et la symétrie), HSF-BF.B.3 (identifier l'effet de f(x) + k et de k·f(x) sur un graphique) et HSA-SSE.B.3. Elle correspond également au thème des équations du second degré du GCSE Mathematics (Higher, Royaume-Uni).

Pour d'autres activités de mathématiques, consultez des activités de mathématiques interactives. Pour les routines de classe, consultez comment utiliser des simulations interactives en classe.

Questions fréquentes

Pourquoi la simulation écrit-elle I(2 ; −1) ?

La simulation nomme le sommet I et sépare les coordonnées par un point-virgule sur le graphique, une convention utilisée dans de nombreux pays. I(2 ; −1) est le point (2 ; −1). L'affichage sous le graphique utilise une virgule.

Le coefficient a peut-il être nul ?

Pas sur les écrans Forme développée ou Forme canonique : a saute par-dessus 0. Sur Explorer, vous pouvez régler a = 0, et une note explique que le graphique est alors une droite, pas une fonction du second degré.

La simulation montre-t-elle la forme factorisée ?

Non. Elle montre la forme développée et la forme canonique. Servez-vous des racines qu'elle affiche pour écrire vous-même la forme factorisée : les racines −1 et 3 avec a = 2 donnent y = 2(x + 1)(x − 3).

Les élèves peuvent-ils faire cette leçon sur téléphone ?

Oui. Les élèves ouvrent le lien sans compte, et les boutons, les curseurs et le sommet déplaçable fonctionnent sur les écrans tactiles. Une tablette ou un ordinateur portable facilite la lecture des étiquettes du graphique.