Plano de aula de função quadrática com gráficos interativos
Atualizado em 2026-10-02
Este plano de aula de função quadrática usa uma simulação gratuita de gráficos interativos para que os alunos vejam, em uma única aula, o que cada coeficiente de y = ax² + bx + c realmente faz com a parábola. Eles descobrem por que mudar a desloca o vértice para o lado, como o discriminante prevê o número de raízes e como a forma canônica e a forma geral descrevem a mesma curva. Você recebe objetivos de aprendizagem, preparação, previsões, uma atividade passo a passo com os valores que os alunos devem encontrar, um conjunto de cinco perguntas para o link da turma, uma extensão com o quadro de variação e ideias de diferenciação. Todos os valores foram conferidos nos cálculos da própria simulação.
A aula num relance
- Nível: 9º ano ao 2º ano do ensino médio (14 a 17 anos), álgebra (Algebra 1 ou Algebra 2, cursos dos EUA).
- Tempo: uma aula de 50 a 60 minutos, mais uma extensão opcional de 20 minutos.
- Conhecimento prévio: marcar pontos, resolver equações do 2º grau simples, desenvolver (x − h)².
- Formato: duplas em notebooks, tablets ou celulares, ou a turma toda com um projetor.
- Simulação: Gráfico da função quadrática – coeficientes, forma canônica, foco e diretriz. Extensão: Função quadrática – vértice, eixo de simetria, quadro de variação.
Objetivos de aprendizagem
Ao fim da aula, os alunos conseguem:
- Descrever o efeito de a, b e c no gráfico de y = ax² + bx + c.
- Achar o vértice com x = −b/2a e o eixo de simetria a partir de uma equação.
- Usar o discriminante b² − 4ac para prever se há duas, uma ou nenhuma raiz real.
- Converter entre a forma canônica y = a(x − h)² + k e a forma geral.
- Escrever a equação de uma parábola a partir do vértice e de um ponto.
O que a simulação faz
O gráfico vai de −10 a 10 nos dois eixos. Há quatro telas:
- Explorar: controles para a (−4 a 4, passos de 0,1), b e c (−8 a 8, passos de 0,5). Marque Ver termos ax², bx, c separados para ver as três partes como curvas tracejadas ao lado da soma. Se a = 0, uma nota diz que o gráfico agora é uma reta.
- Forma geral: coeficientes inteiros definidos com os botões − e +: a de −6 a 6 (nunca 0), b e c de −10 a 10. Caixas de seleção mostram o Vértice, o Eixo de simetria, as Raízes e o Corte no eixo y. Uma leitura dá o discriminante, o número de raízes e o vértice, por exemplo "Δ = b² − 4ac = 4 → duas raízes distintas. Vértice I(−b/2a, −Δ/4a) = I(2, −1); concavidade para cima (a > 0)."
- Forma canônica: controles para a, h e k, ou arraste o vértice diretamente pelo gráfico. A leitura dá a forma geral equivalente.
- Foco: uma extensão sobre o foco e a diretriz.
Duas observações de notação antes da aula. A simulação escreve o discriminante como Δ, que muitos livros dos EUA chamam de D ou simplesmente b² − 4ac. Ela também chama o vértice de I e escreve as coordenadas no gráfico com ponto e vírgula, como em I(2; −1). Diga aos alunos que I(2; −1) significa o ponto (2, −1).
Materiais e preparação antes da aula
Materiais: um dispositivo por dupla (ou um projetor), as tabelas abaixo em papel e lousas pequenas para esboços.
Preparação (10 minutos, uma vez):
- Abra a simulação na tela Explorar com a = 1, b = 0 e c = 0, para que ela mostre y = x². Esses são os padrões.
- Clique em Compartilhar e crie um link para cada turma, por exemplo "Álgebra · 5ª aula". O link fixa esses valores iniciais.
- Opcional: na aba Perguntas, insira o conjunto de perguntas abaixo e anexe-o ao link.
- Publique o link, ou abra-o no modo de apresentação e mostre o QR code.
Sequência da aula
1. Gancho e previsões (7 minutos)
Projete y = x² − 4x + 3 na tela Forma geral com tudo marcado. Aponte as raízes (1 e 3), o vértice (2, −1) e o eixo x = 2. Depois peça que os alunos se comprometam com duas previsões, no papel ou no link:
- P1. "Você muda só o c, de 3 para 5. O que acontece com a parábola?"
- P2. "Você volta o c para 3 e muda o a de 1 para 2. Onde fica o novo vértice?"
Na P2, a maioria dos alunos diz "ainda em (2, −1), só mais estreita". Não corrija ninguém ainda.
2. Explorar: o que fazem a, b e c? (10 minutos)
Em Explorar, as duplas mexem em um controle por vez e escrevem uma frase para cada.
- a: um a positivo abre para cima, um a negativo abre para baixo. Quanto maior |a|, mais estreita a curva. Em a = 0 o gráfico vira uma reta.
- c: a curva toda desliza para cima ou para baixo. O corte no eixo y é sempre (0, c).
- b: a surpresa. Defina a = 1 e c = 0 e experimente b = −4, −2, 2 e 4. O vértice vai para (2, −4), (1, −1), (−1, −1) e (−2, −4).
Pergunte: "Que caminho o vértice segue quando b muda?" Os alunos marcam os quatro pontos e percebem: o vértice desliza sobre a parábola de cabeça para baixo y = −x². Marque Ver termos ax², bx, c separados para ver por quê. O termo bx é uma reta inclinada que arrasta a parte de baixo da curva para o lado e para baixo.
3. Forma geral: vértice, discriminante e raízes (15 minutos)
Mude para Forma geral. As duplas definem cada linha com os botões − e + e copiam a leitura. As três últimas colunas são para você; deixe-as em branco na cópia dos alunos.
| a | b | c | Δ esperado | Vértice esperado | Raízes esperadas |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | −4 | 3 | 4 | (2, −1) | 1 e 3 |
| 1 | −4 | 4 | 0 | (2, 0) | raiz dupla 2 |
| 1 | −4 | 5 | −4 | (2, 1) | nenhuma |
| 2 | −4 | 3 | −8 | (1, 1) | nenhuma |
| 1 | −2 | −3 | 16 | (1, −4) | −1 e 3 |
| −1 | 2 | 3 | 16 | (1, 4) | −1 e 3 |
| 2 | −4 | −6 | 64 | (1, −8) | −1 e 3 |
| 1 | 0 | −5 | 20 | (0, −5) | −2,24 e 2,24 |
A simulação calcula esses valores exatamente e arredonda as raízes para duas casas decimais, então as leituras devem coincidir. Peça três padrões às duplas. Boas respostas:
- "Quando Δ é positivo há duas raízes, zero dá uma, negativo não dá nenhuma."
- "O vértice fica sempre a meio caminho entre as duas raízes."
- "As linhas 5, 6 e 7 parecem diferentes, mas todas têm raízes −1 e 3."
Agora confira as previsões. P1: de c = 3 para c = 5 a curva sobe 2, o vértice vai de (2, −1) para (2, 1) e as raízes desaparecem. P2: com a = 2 o vértice salta para (1, 1), porque x = −b/2a = 4/4 = 1. Mudar a também muda o eixo de simetria.
Por que y = x² − 2x − 3, y = −x² + 2x + 3 e y = 2x² − 4x − 6 têm as mesmas raízes? Cada uma é um múltiplo de (x + 1)(x − 3). Multiplicar por uma constante estica ou inverte a curva, mas nunca move os pontos em que y = 0. Os alunos também podem conferir os atalhos: em 2x² − 4x − 6 as raízes somam 2 (= −b/a) e multiplicam −3 (= c/a).
4. Forma canônica (10 minutos)
Mude para Forma canônica. O padrão é y = (x − 2)² − 1, e a leitura dá sua forma geral: y = x² − 4x + 3. É a curva do gancho, agora escrita de modo a mostrar seu vértice.
As duplas preveem a forma geral de cada linha e depois ajustam os controles para conferir:
| a | h | k | Forma canônica | Forma geral |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | −1 | y = (x − 2)² − 1 | y = x² − 4x + 3 |
| 2 | −1 | 3 | y = 2(x + 1)² + 3 | y = 2x² + 4x + 5 |
| −1 | 3 | 4 | y = −(x − 3)² + 4 | y = −x² + 6x − 5 |
| 0,5 | 2 | −2 | y = 0,5(x − 2)² − 2 | y = 0,5x² − 2x |
A leitura lembra os alunos da regra: b = −2ah e c = ah² + k. A segunda linha pega o erro de sinal clássico. h = −1 se escreve (x + 1), e o vértice fica em x = −1, não em 1.
Desafio: "Uma parábola tem vértice em (1, −8) e passa por (3, 0). Ache a equação dela." Substituindo, a(3 − 1)² − 8 = 0, então a = 2 e y = 2(x − 1)² − 8 = 2x² − 4x − 6. Os alunos conferem na tela Forma geral: é a linha com Δ = 64 e raízes −1 e 3.
5. Verificação de saída (5 minutos)
Use as perguntas 3 a 5 do conjunto abaixo. Depois abra Ver respostas e compare as colunas Previsão e Depois para P1 e P2.
Conjunto de perguntas para esta aula
Insira-as na aba Perguntas da simulação. Instruções para os alunos sugeridas: "Use as telas Forma geral e Forma canônica. Mude um coeficiente de cada vez e leia os valores sob o gráfico."
1. Múltipla escolha · Antes, como previsão · Perguntar de novo depois da simulação
- Pergunta: "y = x² − 4x + 3 tem raízes 1 e 3. Você muda só o c, de 3 para 5. O que acontece?"
- Opções: A parábola se move 2 unidades para a direita / A parábola sobe 2 unidades e deixa de cruzar o eixo x (correta) / A parábola fica mais estreita / As raízes passam a ser 1 e 5
- Explicação: "c é somado a todo valor de y, então a curva toda sobe 2. O vértice vai de (2, −1) para (2, 1), acima do eixo x, então não há raízes reais. O discriminante concorda: 16 − 20 = −4."
2. Múltipla escolha · Antes, como previsão · Perguntar de novo depois da simulação
- Pergunta: "Recomece de y = x² − 4x + 3, com vértice em (2, −1). Você muda o a de 1 para 2. Onde fica o novo vértice?"
- Opções: (2, −1) / (2, −2) / (1, 1) (correta) / (1, −1)
- Explicação: "O vértice está em x = −b/2a. Com a = 2 e b = −4 isso dá 4/4 = 1, e y = 2 − 4 + 3 = 1. Mudar a faz mais que estreitar a curva: também move o eixo de simetria."
3. Número · Depois da simulação
- Pergunta: "Na tela Forma geral, defina a = 2, b = −4 e c = −6. Qual é o discriminante?"
- Resposta: 64, tolerância 0
- Explicação: "Δ = b² − 4ac = 16 − 4 × 2 × (−6) = 16 + 48 = 64. É positivo, então há duas raízes: −1 e 3."
4. Número · Depois da simulação
- Pergunta: "Na tela Forma canônica, defina a = 2, h = −1 e k = 3. Escrita como y = ax² + bx + c, quanto vale c?"
- Resposta: 5, tolerância 0
- Explicação: "c = ah² + k = 2 × (−1)² + 3 = 5. A forma geral completa é y = 2x² + 4x + 5. Confira na leitura sob o gráfico."
5. Resposta curta · Depois da simulação
- Pergunta: "y = x² − 2x − 3 e y = 2x² − 4x − 6 têm as mesmas raízes, mas vértices diferentes. Por quê?"
- Respostas aceitas (opcional): deixe em branco e leia as respostas você mesmo.
- Resposta modelo: "A segunda função é 2 vezes a primeira. Multiplicar todo valor de y por 2 estica a curva na vertical, então o vértice vai de (1, −4) para (1, −8), mas os pontos em que y = 0 continuam em 0. As duas têm raízes −1 e 3."
As perguntas 1 e 2 são as previsões, perguntadas de novo depois da simulação. O guia de avaliação formativa explica como ler os resultados entre turmas.
Extensão: quadro de variação e valor máximo
Para uma segunda aula, abra a simulação de vértice e quadro de variação. Ela tem controles para a, b e c, um vértice arrastável e um quadro de variação com setas que acompanham o sinal de a.
Defina a = −1, b = 6 e c = −5. Os alunos devem achar:
- o vértice I(3; 4) e o eixo x = 3;
- um valor máximo de 4, porque a < 0;
- "crescente em (−∞; 3), decrescente em (3; +∞)" na leitura;
- cortes com o eixo x em 1 e 5 e corte com o eixo y em (0; −5).
Esta é a terceira linha da tabela da forma canônica, então os alunos encontram a mesma curva de uma terceira maneira. Depois peça que arrastem o vértice até (1, −2) e leiam os novos b e c (b = 2, c = −3 quando a = −1). O arrasto se ajusta a passos de 0,25.
A tela Foco da simulação principal é uma tarefa curta de aprofundamento. Com os padrões, o ponto P(2, 1) está a 2 unidades do foco (0, 1) e a 2 unidades da diretriz y = −1. Arraste P para onde quiser: as duas distâncias continuam iguais.
Diferenciação
Apoio:
- Faça o passo 3 só com as quatro primeiras linhas, todas com a = 1 ou 2.
- Entregue o cartão de fórmulas: vértice x = −b/2a, Δ = b² − 4ac.
- Dê inícios de frase: "Quando Δ é negativo, a parábola…"
- Deixe os alunos arrastarem o vértice na tela Forma canônica antes de escrever qualquer equação.
Desafio:
- Explique algebricamente por que o vértice segue y = −x² quando b muda (com a = 1 e c = 0, o vértice é (−b/2, −b²/4)).
- Ache todos os valores inteiros de c que dão a y = x² − 4x + c duas raízes (c < 4) e depois teste-os.
- Escreva duas quadráticas diferentes com raízes −2 e 2 e confira-as na tela Forma geral (por exemplo y = x² − 4 e y = −2x² + 8).
Alunos aprendendo o idioma: a simulação está disponível em seis idiomas. Crie um segundo link no idioma do aluno para que os rótulos sejam familiares enquanto a discussão continua em português.
Alinhamento com padrões
Esta aula apoia o Common Core HSF-IF.C.7a (representar graficamente funções quadráticas, mostrando interseções, máximos e mínimos), HSF-IF.C.8a (usar fatoração e completamento de quadrados para mostrar zeros, valores extremos e simetria), HSF-BF.B.3 (identificar o efeito de f(x) + k e k·f(x) em um gráfico) e HSA-SSE.B.3 (padrões dos EUA). Ela também se encaixa no tema de funções quadráticas do GCSE Mathematics (Higher).
Para mais atividades de matemática, veja atividades interativas de matemática. Para rotinas de sala de aula, veja como usar simulações interativas em sala de aula.
Perguntas frequentes
Por que a simulação escreve I(2; −1)?
A simulação chama o vértice de I e separa as coordenadas com ponto e vírgula no gráfico, uma convenção usada em muitos países. I(2; −1) é o ponto (2, −1). A leitura sob o gráfico usa vírgula.
O a pode ser zero?
Não nas telas Forma geral e Forma canônica: o a pula o 0. Em Explorar você pode definir a = 0, e uma nota explica que o gráfico então é uma reta, não uma função quadrática.
A simulação mostra a forma fatorada?
Não. Ela mostra a forma geral e a forma canônica. Use as raízes que ela exibe para escrever você mesmo a forma fatorada: raízes −1 e 3 com a = 2 dão y = 2(x + 1)(x − 3).
Os alunos podem fazer esta aula em celulares?
Sim. Os alunos abrem o link sem conta, e os botões, os controles e o vértice arrastável funcionam em telas de toque. Um tablet ou notebook facilita ler os rótulos no gráfico.