Plan de clase de funciones cuadráticas con gráficas
Actualizado el 2026-10-02
Este plan de clase de funciones cuadráticas usa una simulación gratuita de gráficas interactivas para que los estudiantes vean, en una sola clase, qué hace realmente cada coeficiente de y = ax² + bx + c a la parábola. Descubren por qué cambiar b mueve el vértice hacia un lado, cómo el discriminante predice el número de raíces y cómo la forma canónica y la forma general describen la misma curva. Obtienes objetivos de aprendizaje, preparación, predicciones, una actividad paso a paso con los valores que deben encontrar los estudiantes, un conjunto de cinco preguntas para el enlace del grupo, una ampliación con tabla de variación e ideas de diferenciación. Cada valor se comprobó con los propios cálculos de la simulación.
La clase de un vistazo
- Nivel: grados 9–11 (14–17 años), Algebra 1 o Algebra 2.
- Tiempo: una clase de 50–60 minutos, más una ampliación opcional de 20 minutos.
- Conocimientos previos: representar puntos, resolver ecuaciones cuadráticas sencillas, desarrollar (x − h)².
- Formato: parejas con portátiles, tabletas o teléfonos, o todo el grupo con un proyector.
- Simulación: Gráfica de funciones cuadráticas: coeficientes, forma canónica, foco y directriz. Ampliación: Función cuadrática: vértice, eje de simetría, tabla de variación.
Objetivos de aprendizaje
Al final de la clase, los estudiantes pueden:
- Describir el efecto de a, b y c en la gráfica de y = ax² + bx + c.
- Hallar el vértice con x = −b/2a y el eje de simetría a partir de una ecuación.
- Usar el discriminante b² − 4ac para predecir si hay dos, una o ninguna raíz real.
- Convertir entre la forma canónica y = a(x − h)² + k y la forma general.
- Escribir la ecuación de una parábola a partir de su vértice y un punto.
Qué hace la simulación
La gráfica va de −10 a 10 en ambos ejes. Hay cuatro pantallas:
- Explorar: deslizadores para a (de −4 a 4, en pasos de 0,1), b y c (de −8 a 8, en pasos de 0,5). Marca Ver términos ax², bx, c por separado para ver las tres piezas como curvas discontinuas junto a su suma. Si a = 0, una nota indica que la gráfica ahora es una recta.
- Forma general: coeficientes enteros fijados con los botones − y +: a de −6 a 6 (nunca 0), b y c de −10 a 10. Las casillas muestran el Vértice, el Eje de simetría, las Raíces y el Corte con eje y. Una lectura da el discriminante, el número de raíces y el vértice, por ejemplo "Δ = b² − 4ac = 4 → dos raíces distintas. Vértice I(−b/2a, −Δ/4a) = I(2, −1); abre hacia arriba (a > 0)."
- Forma canónica: deslizadores para a, h y k, o arrastra el vértice directamente por la gráfica. La lectura da la forma general equivalente.
- Foco: una ampliación sobre el foco y la directriz.
Dos notas de notación antes de clase. La simulación escribe el discriminante como Δ, que muchos libros de texto de EE. UU. llaman D o simplemente b² − 4ac. También rotula el vértice como I y escribe las coordenadas en la gráfica con punto y coma, como en I(2; −1). Dile a los estudiantes que I(2; −1) significa el punto (2, −1).
Materiales y preparación antes de clase
Materiales: un dispositivo por pareja (o un proyector), las tablas de abajo en papel y pizarras pequeñas para los bocetos.
Preparación (10 minutos, una sola vez):
- Abre la simulación en la pantalla Explorar con a = 1, b = 0 y c = 0, de modo que muestre y = x². Son los valores por defecto.
- Haz clic en Compartir y crea un enlace para cada grupo, por ejemplo "Álgebra · Hora 5". El enlace fija estos valores iniciales.
- Opcional: en la pestaña Preguntas, introduce el conjunto de preguntas de abajo y asócialo al enlace.
- Publica el enlace, o ábrelo en modo presentación y muestra el código QR.
Secuencia de la clase
1. Gancho y predicciones (7 minutos)
Proyecta y = x² − 4x + 3 en la pantalla Forma general con todo marcado. Señala las raíces (1 y 3), el vértice (2, −1) y el eje x = 2. Después pide a los estudiantes que se comprometan con dos predicciones, en papel o en el enlace:
- P1. "Cambias solo c, de 3 a 5. ¿Qué le pasa a la parábola?"
- P2. "Vuelves a poner c en 3 y cambias a de 1 a 2. ¿Dónde está el nuevo vértice?"
En P2 la mayoría dice "sigue en (2, −1), solo que más estrecha". No corrijas a nadie todavía.
2. Explorar: ¿qué hacen a, b y c? (10 minutos)
En Explorar, las parejas mueven un deslizador cada vez y escriben una frase para cada uno.
- a: una a positiva abre hacia arriba, una a negativa abre hacia abajo. Cuanto mayor es |a|, más estrecha es la curva. Con a = 0 la gráfica se convierte en una recta.
- c: toda la curva sube o baja. El corte con el eje y es siempre (0, c).
- b: la sorpresa. Fija a = 1 y c = 0, y prueba b = −4, −2, 2 y 4. El vértice pasa a (2, −4), (1, −1), (−1, −1) y (−2, −4).
Pregunta: "¿Qué camino sigue el vértice cuando cambia b?" Los estudiantes representan los cuatro puntos y lo ven: el vértice se desliza por la parábola invertida y = −x². Marca Ver términos ax², bx, c por separado para ver por qué. El término bx es una recta inclinada que arrastra el fondo de la curva hacia un lado y hacia abajo.
3. Forma general: vértice, discriminante y raíces (15 minutos)
Cambia a Forma general. Las parejas fijan cada fila con los botones − y + y copian la lectura. Las tres últimas columnas son para ti; déjalas en blanco en la copia de los estudiantes.
| a | b | c | Δ esperado | Vértice esperado | Raíces esperadas |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | −4 | 3 | 4 | (2, −1) | 1 y 3 |
| 1 | −4 | 4 | 0 | (2, 0) | raíz doble 2 |
| 1 | −4 | 5 | −4 | (2, 1) | ninguna |
| 2 | −4 | 3 | −8 | (1, 1) | ninguna |
| 1 | −2 | −3 | 16 | (1, −4) | −1 y 3 |
| −1 | 2 | 3 | 16 | (1, 4) | −1 y 3 |
| 2 | −4 | −6 | 64 | (1, −8) | −1 y 3 |
| 1 | 0 | −5 | 20 | (0, −5) | −2,24 y 2,24 |
La simulación los calcula de forma exacta y redondea las raíces a dos decimales, así que las lecturas deben coincidir. Pide a las parejas tres patrones. Buenas respuestas:
- "Cuando Δ es positivo hay dos raíces, cero da una y negativo no da ninguna."
- "El vértice está siempre a medio camino entre las dos raíces."
- "Las filas 5, 6 y 7 parecen distintas pero todas tienen raíces −1 y 3."
Ahora comprueba las predicciones. P1: de c = 3 a c = 5 la curva sube 2, el vértice pasa de (2, −1) a (2, 1) y las raíces desaparecen. P2: con a = 2 el vértice salta a (1, 1), porque x = −b/2a = 4/4 = 1. Cambiar a también cambia el eje de simetría.
¿Por qué y = x² − 2x − 3, y = −x² + 2x + 3 e y = 2x² − 4x − 6 comparten sus raíces? Cada una es un múltiplo de (x + 1)(x − 3). Multiplicar por una constante estira o voltea la curva, pero nunca mueve los puntos donde y = 0. Los estudiantes también pueden comprobar los atajos: para 2x² − 4x − 6 las raíces suman 2 (= −b/a) y se multiplican dando −3 (= c/a).
4. Forma canónica (10 minutos)
Cambia a Forma canónica. El valor por defecto es y = (x − 2)² − 1, y la lectura da su forma general: y = x² − 4x + 3. Es la curva del gancho, ahora escrita de modo que muestra su vértice.
Las parejas predicen la forma general de cada fila y luego fijan los deslizadores para comprobarla:
| a | h | k | Forma canónica | Forma general |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | −1 | y = (x − 2)² − 1 | y = x² − 4x + 3 |
| 2 | −1 | 3 | y = 2(x + 1)² + 3 | y = 2x² + 4x + 5 |
| −1 | 3 | 4 | y = −(x − 3)² + 4 | y = −x² + 6x − 5 |
| 0,5 | 2 | −2 | y = 0,5(x − 2)² − 2 | y = 0,5x² − 2x |
La lectura recuerda a los estudiantes la regla: b = −2ah y c = ah² + k. La segunda fila pilla el clásico error de signo. h = −1 se escribe (x + 1), y el vértice está en x = −1, no en 1.
Reto: "Una parábola tiene su vértice en (1, −8) y pasa por (3, 0). Halla su ecuación." Al sustituir se obtiene a(3 − 1)² − 8 = 0, así que a = 2 e y = 2(x − 1)² − 8 = 2x² − 4x − 6. Los estudiantes lo comprueban en la pantalla Forma general: es la fila con Δ = 64 y raíces −1 y 3.
5. Comprobación de salida (5 minutos)
Usa las preguntas 3–5 del conjunto de abajo. Después abre Ver respuestas y compara las columnas Predicción y Después de P1 y P2.
Conjunto de preguntas para esta clase
Introdúcelas en la pestaña Preguntas de la simulación. Instrucciones para los alumnos sugeridas: "Usa las pantallas Forma general y Forma canónica. Cambia un coeficiente cada vez y lee los valores debajo de la gráfica."
1. Opción múltiple · Antes, como predicción · Volver a preguntar después de la simulación
- Pregunta: "y = x² − 4x + 3 tiene raíces 1 y 3. Cambias solo c, de 3 a 5. ¿Qué ocurre?"
- Opciones: La parábola se mueve 2 unidades a la derecha / La parábola sube 2 unidades y ya no corta el eje x (correcta) / La parábola se vuelve más estrecha / Las raíces pasan a ser 1 y 5
- Explicación: "c se suma a cada valor de y, así que toda la curva sube 2. El vértice pasa de (2, −1) a (2, 1), por encima del eje x, así que no hay raíces reales. El discriminante coincide: 16 − 20 = −4."
2. Opción múltiple · Antes, como predicción · Volver a preguntar después de la simulación
- Pregunta: "Empieza de nuevo desde y = x² − 4x + 3, con su vértice en (2, −1). Cambias a de 1 a 2. ¿Dónde está el nuevo vértice?"
- Opciones: (2, −1) / (2, −2) / (1, 1) (correcta) / (1, −1)
- Explicación: "El vértice está en x = −b/2a. Con a = 2 y b = −4 es 4/4 = 1, y y = 2 − 4 + 3 = 1. Cambiar a hace algo más que estrechar la curva: también mueve el eje de simetría."
3. Número · Después de la simulación
- Pregunta: "En la pantalla Forma general, fija a = 2, b = −4 y c = −6. ¿Cuál es el discriminante?"
- Respuesta: 64, margen de error 0
- Explicación: "Δ = b² − 4ac = 16 − 4 × 2 × (−6) = 16 + 48 = 64. Es positivo, así que hay dos raíces: −1 y 3."
4. Número · Después de la simulación
- Pregunta: "En la pantalla Forma canónica, fija a = 2, h = −1 y k = 3. Escrita como y = ax² + bx + c, ¿cuánto vale c?"
- Respuesta: 5, margen de error 0
- Explicación: "c = ah² + k = 2 × (−1)² + 3 = 5. La forma general completa es y = 2x² + 4x + 5. Compruébalo en la lectura debajo de la gráfica."
5. Respuesta corta · Después de la simulación
- Pregunta: "y = x² − 2x − 3 e y = 2x² − 4x − 6 tienen las mismas raíces pero distintos vértices. ¿Por qué?"
- Respuestas aceptadas (opcional): déjalo vacío y lee tú las respuestas.
- Respuesta modelo: "La segunda función es 2 veces la primera. Multiplicar cada valor de y por 2 estira la curva en vertical, así que el vértice pasa de (1, −4) a (1, −8), pero los puntos donde y = 0 siguen en 0. Ambas tienen raíces −1 y 3."
Las preguntas 1 y 2 son las predicciones, que se vuelven a preguntar después de la simulación. La guía de evaluación formativa explica cómo leer los resultados entre grupos.
Ampliación: tabla de variación y valor máximo
Para una segunda clase, abre la simulación del vértice y la tabla de variación. Tiene deslizadores para a, b y c, un vértice que se puede arrastrar y una tabla de variación con flechas que siguen el signo de a.
Fija a = −1, b = 6 y c = −5. Los estudiantes deben encontrar:
- el vértice I(3; 4) y el eje x = 3;
- un valor máximo de 4, porque a < 0;
- "creciente en (−∞; 3), decreciente en (3; +∞)" en la lectura;
- cortes con el eje x en 1 y 5, y el corte con el eje y (0; −5).
Es la tercera fila de la tabla de forma canónica, así que los estudiantes se encuentran con la misma curva de una tercera manera. Después pídeles que arrastren el vértice a (1, −2) y lean los nuevos b y c (b = 2, c = −3 cuando a = −1). El arrastre salta en pasos de 0,25.
La pantalla Foco de la simulación principal es una tarea corta de ampliación. Con los valores por defecto, el punto P(2, 1) está a 2 unidades del foco (0, 1) y a 2 unidades de la directriz y = −1. Arrastra P a cualquier parte: las dos distancias siguen siendo iguales.
Diferenciación
Apoyo:
- Haz el paso 3 solo con las cuatro primeras filas, todas con a = 1 o 2.
- Da la tarjeta de fórmulas: vértice x = −b/2a, Δ = b² − 4ac.
- Da inicios de frase: "Cuando Δ es negativo, la parábola…"
- Deja que los estudiantes arrastren el vértice en la pantalla Forma canónica antes de escribir ninguna ecuación.
Ampliación para los más avanzados:
- Explica algebraicamente por qué el vértice sigue y = −x² cuando cambia b (con a = 1 y c = 0, el vértice es (−b/2, −b²/4)).
- Halla todos los valores enteros de c que dan a y = x² − 4x + c dos raíces (c < 4) y luego compruébalos.
- Escribe dos cuadráticas distintas con raíces −2 y 2 y compruébalas en la pantalla Forma general (por ejemplo y = x² − 4 e y = −2x² + 8).
Estudiantes de inglés: la simulación está disponible en seis idiomas. Crea un segundo enlace en el idioma del estudiante para que las etiquetas le resulten familiares mientras la discusión sigue en inglés.
Alineación con estándares
Esta clase apoya los estándares Common Core de EE. UU. HSF-IF.C.7a (representar funciones cuadráticas, mostrando cortes, máximos y mínimos), HSF-IF.C.8a (usar la factorización y completar el cuadrado para mostrar ceros, valores extremos y simetría), HSF-BF.B.3 (identificar el efecto de f(x) + k y k·f(x) en una gráfica) y HSA-SSE.B.3. También encaja con el tema de cuadráticas de GCSE Mathematics (Higher).
Para más actividades de matemáticas, consulta actividades interactivas de matemáticas. Para rutinas de aula, consulta cómo usar simulaciones interactivas en el aula.
Preguntas frecuentes
¿Por qué la simulación escribe I(2; −1)?
La simulación rotula el vértice como I y separa las coordenadas con punto y coma en la gráfica, una convención usada en muchos países. I(2; −1) es el punto (2, −1). La lectura debajo de la gráfica usa una coma.
¿Puede a valer cero?
No en las pantallas Forma general ni Forma canónica: a salta el 0. En Explorar puedes fijar a = 0, y una nota explica que entonces la gráfica es una recta, no una cuadrática.
¿La simulación muestra la forma factorizada?
No. Muestra la forma general y la forma canónica. Usa las raíces que muestra para escribir tú la forma factorizada: raíces −1 y 3 con a = 2 dan y = 2(x + 1)(x − 3).
¿Pueden los estudiantes hacer esta clase en teléfonos?
Sí. Los estudiantes abren el enlace sin cuenta, y los botones, los deslizadores y el vértice arrastrable funcionan en pantallas táctiles. Una tableta o un portátil facilita la lectura de las etiquetas de la gráfica.