Quadratische Funktionen: Unterrichtsplan mit Graphen

Dieser Unterrichtsplan zu quadratischen Funktionen nutzt eine kostenlose interaktive Simulation zum Zeichnen von Graphen, damit die Lernenden in einer Unterrichtsstunde sehen, was jeder Koeffizient von y = ax² + bx + c mit der Parabel tatsächlich macht. Sie entdecken, warum eine Änderung von a den Scheitelpunkt seitlich verschiebt, wie die Diskriminante die Zahl der Nullstellen vorhersagt und wie Scheitelpunktform und allgemeine Form dieselbe Kurve beschreiben. Sie erhalten Lernziele, Vorbereitung, Vorhersagen, eine Aktivität Schritt für Schritt mit den Werten, die die Lernenden finden sollten, ein Fragenset mit fünf Fragen für den Klassenlink, eine Erweiterung mit der Monotonietabelle und Ideen zur Differenzierung. Jeder Wert wurde an den eigenen Berechnungen der Simulation geprüft.

Die Stunde im Überblick

• Stufe: Klassen 9–11 (Alter 14–17), Algebra.
• Zeit: eine Unterrichtsstunde von 50–60 Minuten, plus eine optionale Erweiterung von 20 Minuten.
• Vorwissen: Punkte eintragen, einfache quadratische Gleichungen lösen, (x − h)² ausmultiplizieren.
• Format: Paare an Laptops, Tablets oder Smartphones, oder die ganze Klasse mit einem Beamer.
• Simulation: Quadratische Funktionen – Koeffizienten, Scheitelpunktform, Brennpunkt und Leitlinie. Erweiterung: Quadratische Funktion – Scheitelpunkt, Symmetrieachse, Monotonietabelle.

Lernziele

Am Ende der Stunde können die Lernenden:

1. die Wirkung von a, b und c auf den Graphen von y = ax² + bx + c beschreiben.
2. den Scheitelpunkt mit x = −b/2a und die Symmetrieachse aus einer Gleichung bestimmen.
3. mit der Diskriminante b² − 4ac vorhersagen, ob es zwei, eine oder keine reellen Nullstellen gibt.
4. zwischen der Scheitelpunktform y = a(x − h)² + k und der allgemeinen Form umrechnen.
5. die Gleichung einer Parabel aus ihrem Scheitelpunkt und einem Punkt aufstellen.

Was die Simulation leistet

Der Graph reicht auf beiden Achsen von −10 bis 10. Es gibt vier Bildschirme:

• Erkunden: Regler für a (−4 bis 4, Schritte von 0,1), b und c (−8 bis 8, Schritte von 0,5). Setzen Sie ein Häkchen bei Terme ax², bx, c einzeln, um die drei Teile als gestrichelte Kurven neben ihrer Summe zu sehen. Wenn a = 0 ist, weist ein Hinweis darauf hin, dass der Graph jetzt eine Gerade ist.
• Allgemeine Form: ganzzahlige Koeffizienten, die mit den Tasten − und + eingestellt werden: a von −6 bis 6 (nie 0), b und c von −10 bis 10. Kontrollkästchen zeigen den Scheitel, die Symmetrieachse, die Nullstellen und den y-Achsenabschnitt. Eine Anzeige gibt die Diskriminante, die Zahl der Nullstellen und den Scheitelpunkt an, zum Beispiel „Δ = b² − 4ac = 4 → zwei verschiedene Nullstellen. Scheitelpunkt I(−b/2a, −Δ/4a) = I(2, −1); nach oben geöffnet (a > 0).“
• Scheitelpunktform: Regler für a, h und k, oder ziehen Sie den Scheitelpunkt direkt über den Graphen. Die Anzeige gibt die gleichwertige allgemeine Form an.
• Brennpunkt und Leitlinie: eine Vertiefung zum Brennpunkt und zur Leitlinie.

Zwei Hinweise zur Schreibweise vor dem Unterricht. Die Simulation schreibt die Diskriminante als Δ, die manche Lehrbücher D oder einfach b² − 4ac nennen. Sie bezeichnet den Scheitelpunkt außerdem mit I und schreibt Koordinaten im Graphen mit einem Semikolon, wie in I(2; −1). Sagen Sie den Lernenden, dass I(2; −1) den Punkt (2, −1) bedeutet.

Material und Vorbereitung vor dem Unterricht

Material: ein Gerät pro Paar (oder ein Beamer), die Tabellen unten auf Papier und kleine Whiteboards für Skizzen.

Vorbereitung (10 Minuten, einmalig):

1. Öffnen Sie die Simulation auf dem Bildschirm Erkunden mit a = 1, b = 0 und c = 0, sodass sie y = x² zeigt. Das sind die Standardwerte.
2. Klicken Sie auf Teilen und erstellen Sie für jede Klasse einen Link, zum Beispiel „Algebra · 5. Stunde“. Der Link legt diese Startwerte fest.
3. Optional: Geben Sie auf dem Tab Fragen das Fragenset unten ein und verknüpfen Sie es mit dem Link.
4. Veröffentlichen Sie den Link oder öffnen Sie ihn im Präsentationsmodus und zeigen Sie den QR-Code.

Ablauf der Stunde

1. Einstieg und Vorhersagen (7 Minuten)

Projizieren Sie y = x² − 4x + 3 auf dem Bildschirm Allgemeine Form mit allen Häkchen. Zeigen Sie die Nullstellen (1 und 3), den Scheitelpunkt (2, −1) und die Achse x = 2. Dann legen sich die Lernenden auf zwei Vorhersagen fest, auf Papier oder am Link:

• P1. „Sie ändern nur c, von 3 auf 5. Was geschieht mit der Parabel?“
• P2. „Sie stellen c wieder auf 3 und ändern a von 1 auf 2. Wo liegt der neue Scheitelpunkt?“

Bei P2 sagen die meisten „weiterhin bei (2, −1), nur schmaler“. Korrigieren Sie noch niemanden.

2. Erkunden: Was machen a, b und c? (10 Minuten)

Auf Erkunden bewegen die Paare jeweils einen Regler und schreiben für jeden einen Satz auf.

• a: Ein positives a öffnet nach oben, ein negatives a nach unten. Je größer |a|, desto schmaler die Kurve. Bei a = 0 wird der Graph zu einer Geraden.
• c: Die ganze Kurve verschiebt sich nach oben oder unten. Der y-Achsenabschnitt ist immer (0, c).
• b: die Überraschung. Stellen Sie a = 1 und c = 0 ein und probieren Sie dann b = −4, −2, 2 und 4. Der Scheitelpunkt wandert nach (2, −4), (1, −1), (−1, −1) und (−2, −4).

Fragen Sie: „Welchem Weg folgt der Scheitelpunkt, wenn sich b ändert?“ Die Lernenden tragen die vier Punkte ein und erkennen es: Der Scheitelpunkt gleitet entlang der nach unten geöffneten Parabel y = −x². Setzen Sie ein Häkchen bei Terme ax², bx, c einzeln, um den Grund zu sehen. Der Term bx ist eine geneigte Gerade, die den tiefsten Punkt der Kurve seitlich und nach unten zieht.

3. Allgemeine Form: Scheitelpunkt, Diskriminante und Nullstellen (15 Minuten)

Wechseln Sie zu Allgemeine Form. Die Paare stellen jede Zeile mit den Tasten − und + ein und übernehmen die Anzeige. Die letzten drei Spalten sind für Sie; lassen Sie sie auf der Schülerkopie leer.

a	b	c	Erwartetes Δ	Erwarteter Scheitelpunkt	Erwartete Nullstellen
1	−4	3	4	(2, −1)	1 und 3
1	−4	4	0	(2, 0)	doppelte Nullstelle 2
1	−4	5	−4	(2, 1)	keine
2	−4	3	−8	(1, 1)	keine
1	−2	−3	16	(1, −4)	−1 und 3
−1	2	3	16	(1, 4)	−1 und 3
2	−4	−6	64	(1, −8)	−1 und 3
1	0	−5	20	(0, −5)	−2,24 und 2,24

Die Simulation berechnet diese Werte exakt und rundet Nullstellen auf zwei Dezimalstellen, die Messwerte sollten also übereinstimmen. Bitten Sie die Paare um drei Muster. Gute Antworten:

• „Wenn Δ positiv ist, gibt es zwei Nullstellen, null ergibt eine, negativ ergibt keine.“
• „Der Scheitelpunkt liegt immer genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.“
• „Die Zeilen 5, 6 und 7 sehen verschieden aus, haben aber alle die Nullstellen −1 und 3.“

Prüfen Sie nun die Vorhersagen. P1: Von c = 3 auf c = 5 wandert die Kurve um 2 nach oben, der Scheitelpunkt geht von (2, −1) nach (2, 1), und die Nullstellen verschwinden. P2: Mit a = 2 springt der Scheitelpunkt nach (1, 1), weil x = −b/2a = 4/4 = 1. Eine Änderung von a ändert auch die Symmetrieachse.

Warum haben y = x² − 2x − 3, y = −x² + 2x + 3 und y = 2x² − 4x − 6 dieselben Nullstellen? Jede ist ein Vielfaches von (x + 1)(x − 3). Die Multiplikation mit einer Konstanten streckt oder spiegelt die Kurve, verschiebt aber nie die Punkte, an denen y = 0 ist. Die Lernenden können auch die Abkürzungen prüfen: Bei 2x² − 4x − 6 ist die Summe der Nullstellen 2 (= −b/a) und ihr Produkt −3 (= c/a).

4. Scheitelpunktform (10 Minuten)

Wechseln Sie zu Scheitelpunktform. Der Standard ist y = (x − 2)² − 1, und die Anzeige gibt die allgemeine Form an: y = x² − 4x + 3. Das ist die Kurve vom Einstieg, jetzt so geschrieben, dass sie ihren Scheitelpunkt zeigt.

Die Paare sagen für jede Zeile die allgemeine Form voraus und stellen dann die Regler ein, um sie zu prüfen:

a	h	k	Scheitelpunktform	Allgemeine Form
1	2	−1	y = (x − 2)² − 1	y = x² − 4x + 3
2	−1	3	y = 2(x + 1)² + 3	y = 2x² + 4x + 5
−1	3	4	y = −(x − 3)² + 4	y = −x² + 6x − 5
0,5	2	−2	y = 0,5(x − 2)² − 2	y = 0,5x² − 2x

Die Anzeige erinnert die Lernenden an die Regel: b = −2ah und c = ah² + k. Die zweite Zeile erwischt den klassischen Vorzeichenfehler. h = −1 wird als (x + 1) geschrieben, und der Scheitelpunkt liegt bei x = −1, nicht bei 1.

Herausforderung: „Eine Parabel hat ihren Scheitelpunkt bei (1, −8) und verläuft durch (3, 0). Bestimme ihre Gleichung.“ Einsetzen ergibt a(3 − 1)² − 8 = 0, also a = 2 und y = 2(x − 1)² − 8 = 2x² − 4x − 6. Die Lernenden prüfen es auf dem Bildschirm Allgemeine Form: Es ist die Zeile mit Δ = 64 und den Nullstellen −1 und 3.

5. Abschlusscheck (5 Minuten)

Nutzen Sie die Fragen 3–5 des Sets unten. Öffnen Sie dann Antworten ansehen und vergleichen Sie die Spalten „Vorhersage“ und „Danach“ für P1 und P2.

Fragenset für diese Stunde

Geben Sie diese Fragen auf dem Tab Fragen der Simulation ein. Vorgeschlagene Anleitung für Schüler: „Nutze die Bildschirme Allgemeine Form und Scheitelpunktform. Ändere jeweils einen Koeffizienten und lies die Werte unter dem Graphen ab.“

1. Multiple Choice · Vorher, als Vorhersage · Nach der Simulation noch einmal fragen

• Frage: „y = x² − 4x + 3 hat die Nullstellen 1 und 3. Du änderst nur c, von 3 auf 5. Was geschieht?“
• Optionen: Die Parabel wandert 2 Einheiten nach rechts / Die Parabel wandert 2 Einheiten nach oben und schneidet die x-Achse nicht mehr (richtig) / Die Parabel wird schmaler / Die Nullstellen werden 1 und 5
• Erklärung: „c wird zu jedem y-Wert addiert, also wandert die ganze Kurve um 2 nach oben. Der Scheitelpunkt geht von (2, −1) nach (2, 1), über die x-Achse, also gibt es keine reellen Nullstellen. Die Diskriminante stimmt zu: 16 − 20 = −4.“

2. Multiple Choice · Vorher, als Vorhersage · Nach der Simulation noch einmal fragen

• Frage: „Beginne wieder bei y = x² − 4x + 3 mit dem Scheitelpunkt (2, −1). Du änderst a von 1 auf 2. Wo liegt der neue Scheitelpunkt?“
• Optionen: (2, −1) / (2, −2) / (1, 1) (richtig) / (1, −1)
• Erklärung: „Der Scheitelpunkt liegt bei x = −b/2a. Mit a = 2 und b = −4 sind das 4/4 = 1, und y = 2 − 4 + 3 = 1. Eine Änderung von a macht die Kurve nicht nur schmaler: Sie verschiebt auch die Symmetrieachse.“

3. Zahl · Nach der Simulation

• Frage: „Stelle auf dem Bildschirm Allgemeine Form a = 2, b = −4 und c = −6 ein. Wie groß ist die Diskriminante?“
• Antwort: 64, Toleranz 0
• Erklärung: „Δ = b² − 4ac = 16 − 4 × 2 × (−6) = 16 + 48 = 64. Sie ist positiv, also gibt es zwei Nullstellen: −1 und 3.“

4. Zahl · Nach der Simulation

• Frage: „Stelle auf dem Bildschirm Scheitelpunktform a = 2, h = −1 und k = 3 ein. Wie groß ist c, wenn du die Funktion als y = ax² + bx + c schreibst?“
• Antwort: 5, Toleranz 0
• Erklärung: „c = ah² + k = 2 × (−1)² + 3 = 5. Die vollständige allgemeine Form ist y = 2x² + 4x + 5. Prüfe es in der Anzeige unter dem Graphen.“

5. Kurzantwort · Nach der Simulation

• Frage: „y = x² − 2x − 3 und y = 2x² − 4x − 6 haben dieselben Nullstellen, aber verschiedene Scheitelpunkte. Warum?“
• Akzeptierte Antworten (optional): leer lassen und die Antworten selbst lesen.
• Musterantwort: „Die zweite Funktion ist das Doppelte der ersten. Die Multiplikation jedes y-Werts mit 2 streckt die Kurve senkrecht, also wandert der Scheitelpunkt von (1, −4) nach (1, −8), aber Punkte mit y = 0 bleiben bei 0. Beide haben die Nullstellen −1 und 3.“

Die Fragen 1 und 2 sind die Vorhersagen, die nach der Simulation noch einmal gestellt werden. Der Leitfaden zur formativen Leistungsbewertung erklärt, wie Sie die Ergebnisse klassenübergreifend lesen.

Erweiterung: Monotonietabelle und Maximalwert

Öffnen Sie für eine zweite Stunde die Simulation zu Scheitelpunkt und Monotonietabelle. Sie hat Regler für a, b und c, einen ziehbaren Scheitelpunkt und eine Monotonietabelle mit Pfeilen, die dem Vorzeichen von a folgen.

Stellen Sie a = −1, b = 6 und c = −5 ein. Die Lernenden sollten finden:

• den Scheitelpunkt I(3; 4) und die Achse x = 3;
• einen Maximalwert von 4, weil a < 0;
• „steigend auf (−∞; 3), fallend auf (3; +∞)“ in der Anzeige;
• die Nullstellen 1 und 5 und den y-Achsenabschnitt (0; −5).

Das ist die dritte Zeile der Tabelle zur Scheitelpunktform, die Lernenden begegnen derselben Kurve also auf eine dritte Weise. Bitten Sie sie dann, den Scheitelpunkt nach (1, −2) zu ziehen und das neue b und c abzulesen (b = 2, c = −3 bei a = −1). Das Ziehen rastet in Schritten von 0,25 ein.

Der Bildschirm Brennpunkt und Leitlinie der Hauptsimulation ist eine kurze Zusatzaufgabe. Mit den Standardwerten ist der Punkt P(2, 1) 2 Einheiten vom Brennpunkt (0, 1) und 2 Einheiten von der Leitlinie y = −1 entfernt. Ziehen Sie P beliebig: Die beiden Abstände bleiben gleich.

Differenzierung

Unterstützung:

• Bearbeiten Sie Schritt 3 nur mit den ersten vier Zeilen, alle mit a = 1 oder 2.
• Geben Sie die Formelkarte: Scheitelpunkt x = −b/2a, Δ = b² − 4ac.
• Geben Sie Satzanfänge: „Wenn Δ negativ ist, die Parabel …“
• Lassen Sie die Lernenden auf dem Bildschirm Scheitelpunktform den Scheitelpunkt ziehen, bevor sie irgendeine Gleichung schreiben.

Herausforderung:

• Erklären Sie algebraisch, warum der Scheitelpunkt y = −x² folgt, wenn sich b ändert (mit a = 1 und c = 0 ist der Scheitelpunkt (−b/2, −b²/4)).
• Finden Sie alle ganzzahligen Werte von c, für die y = x² − 4x + c zwei Nullstellen hat (c < 4), und testen Sie sie.
• Schreiben Sie zwei verschiedene quadratische Funktionen mit den Nullstellen −2 und 2 und prüfen Sie sie auf dem Bildschirm Allgemeine Form (zum Beispiel y = x² − 4 und y = −2x² + 8).

Lernende mit Deutsch als Zweitsprache: Die Simulation gibt es in sechs Sprachen. Erstellen Sie einen zweiten Link in der Sprache der Lernenden, damit ihnen die Beschriftungen vertraut sind, während das Gespräch auf Deutsch bleibt.

Zuordnung zu Standards

Diese Stunde unterstützt die Common-Core-Standards (US-Standards) HSF-IF.C.7a (quadratische Funktionen zeichnen und dabei Achsenschnittpunkte, Maxima und Minima zeigen), HSF-IF.C.8a (Faktorisieren und quadratische Ergänzung nutzen, um Nullstellen, Extremwerte und Symmetrie zu zeigen), HSF-BF.B.3 (die Wirkung von f(x) + k und k·f(x) auf einen Graphen erkennen) und HSA-SSE.B.3. Sie passt auch zum Thema quadratische Funktionen im GCSE Mathematics (Higher, Großbritannien).

Weitere Mathe-Aktivitäten finden Sie in Interaktive Mathe-Aktivitäten. Zu Unterrichtsroutinen lesen Sie Interaktive Simulationen im Unterricht einsetzen.

Häufige Fragen

Warum schreibt die Simulation I(2; −1)?

Die Simulation bezeichnet den Scheitelpunkt mit I und trennt Koordinaten im Graphen mit einem Semikolon, eine in vielen Ländern übliche Konvention. I(2; −1) ist der Punkt (2, −1). Die Anzeige unter dem Graphen nutzt ein Komma.

Kann a null sein?

Nicht auf den Bildschirmen Allgemeine Form und Scheitelpunktform: a überspringt die 0. Auf Erkunden können Sie a = 0 einstellen, und ein Hinweis erklärt, dass der Graph dann eine Gerade ist, keine quadratische Funktion.

Zeigt die Simulation die faktorisierte Form?

Nein. Sie zeigt die allgemeine Form und die Scheitelpunktform. Nutzen Sie die angezeigten Nullstellen, um die faktorisierte Form selbst zu schreiben: Die Nullstellen −1 und 3 mit a = 2 ergeben y = 2(x + 1)(x − 3).

Können die Lernenden diese Stunde auf Smartphones durchführen?

Ja. Die Lernenden öffnen den Link ohne Konto, und die Tasten, Regler und der ziehbare Scheitelpunkt funktionieren auf Touchscreens. An einem Tablet oder Laptop lassen sich die Beschriftungen im Graphen leichter lesen.