دائرة الوحدة – الجيب وجيب التمام والظل لأي زاوية

ماذا تعرض

على دائرة الوحدة التي مركزها O ونصف قطرها 1، تحدد كل زاوية θ نقطة M = (cos θ; sin θ): فالإحداثي الأفقي للنقطة هو cos θ، والإحداثي الرأسي هو sin θ. ويُقرأ tan θ = sin θ / cos θ على المماس الرأسي عند النقطة (1; 0)، إذ يقطعه المستقيم OM على ارتفاع tan θ، ولذلك لا يكون tan θ معرّفًا عندما cos θ = 0. ويمكن أن تتجاوز الزاوية دورة كاملة، فتتكرر القيم كل 360° أي 2π. وللزوايا الخاصة مثل 30° و45° و60° قيم دقيقة بالجذور، مثل sin 60° = √3/2.

طريقة الاستخدام

اختر الدالة بالزر «sin θ» أو «cos θ» أو «tan θ»، والوحدة «الدرجات» أو «الراديان». اسحب النقطة الحمراء على الدائرة، أو النقطة على التمثيل البياني، أو منزلق «الزاوية θ»، ولاحظ القطع الملوّنة وسطر القيم. فعّل «الالتقاط عند الزوايا الخاصة» لقراءة القيم الدقيقة، واستعن بـ«تسميات الزوايا الخاصة» و«الشبكة». تجاوز 360° لترى عدّ الدورات، واضغط «إعادة الضبط» للعودة إلى الزاوية الأولى.

المعاملات القابلة للتغيير

• الزاوية θ -720–720 °
• الدالة المعروضة على التمثيل البياني sin θ, cos θ, tan θ
• وحدة الزاوية الدرجات, الراديان
• إظهار شبكة الإحداثيات
• إظهار تسميات الزوايا الخاصة
• الالتقاط عند الزوايا الخاصة أثناء السحب

أسئلة للاستكشاف

1. لماذا يكون tan θ غير معرّف عند θ = 90°، وماذا يحدث لقطعة الظل كلما اقتربت θ من 90°؟
2. ما الزوايا بين 0° و360° التي يكون عندها sin θ = 1/2، وكيف تحددها على الدائرة؟
3. ما العلاقة بين قيم sin وcos عند الزاويتين θ وθ + 360°، ولماذا؟