دائرة الوحدة – منحنيات الجيب وجيب التمام والظل

ماذا تعرض

على دائرة الوحدة، إحداثيا النقطة M عند الزاوية x هما (cos x; sin x)، و tan x = sin x / cos x حيث cos x ≠ 0. يقطع المستقيم y = m كل منحنى عند حلول المعادلة f(x) = m. الدوال المقلوبة sec x = 1/cos x و cosec x = 1/sin x (وتُكتب أيضًا csc x) و cot x = cos x/sin x غير معرّفة حيث يكون المقام صفرًا، ومن هنا تنشأ خطوط التقارب الرأسية. تقييد مجال sin إلى x ∈ [−π/2, π/2]، و cos إلى x ∈ [0, π]، و tan إلى x ∈ (−π/2, π/2) يجعل كلًّا منها متباينة، وانعكاسها في y = x يعطي arcsin و arccos و arctan. في التحويلات، سعة الدالة y = A sin(B(x − C)) + D هي القيمة المطلقة لـ A، ودورتها 2π/B، وإزاحة طورها C، وخط منتصفها y = D، ونماذج المد والجزر وطول النهار والعجلة الدوّارة مبسّطة.

طريقة الاستخدام

في «الدائرة والمنحنيات»، اسحب M أو اضغط «ابدأ» واقرأ sin x و cos x و tan x، ثم غيّر m لترى حلول f(x) = m. في «الدوال المقلوبة»، اختر sec x أو cosec x أو cot x وقارنها بالمنحنى الأصلي المتقطع قرب أصفاره. في «الدوال العكسية»، اختر arcsin أو arccos أو arctan، واسحب على المنحنى لتغيير m، وألغِ «تقييد المجال» لترى سبب الحاجة إليه، واقرأ المسألة التطبيقية. في «التحويلات»، حرّك A و B و C و D، واختر «السياق» وحاول مطابقة نقاط طول النهار.

المعاملات القابلة للتغيير

• الدالة y = sin x, y = cos x, y = tan x
• الطرف الأيمن m في المعادلة f(x) = m -2–2
• وحدة قياس الزاوية راديان, درجة
• عدد الدورات 2π المعروضة على المنحنى 1–3
• الشاشة الدائرة والمنحنيات, الدوال المقلوبة: sec x، cosec x، cot x, الدوال العكسية: arcsin، arccos، arctan, التحويلات: y = A sin(B(x − C)) + D
• شاشة التحويلات: A (السعة هي القيمة المطلقة لـ A) -3–3
• شاشة التحويلات: B (الدورة 2π/B) 0.25–4
• شاشة التحويلات: إزاحة الطور C (بالراديان) -3.14–3.14
• شاشة التحويلات: D (خط المنتصف y = D) -3–3
• شاشة التحويلات: السياق بلا سياق (منحنى x–y), المد والجزر, طول النهار (لندن), العجلة الدوّارة

أسئلة للاستكشاف

1. لماذا للمعادلة sin x = 0.5 عائلتان من الحلول، بينما للمعادلة tan x = 1 عائلة واحدة فقط؟
2. ما دورة الدالة y = tan x، وكيف تفسّرها دائرة الوحدة؟
3. أي نقاط دائرة الوحدة تعطي cos x = 0، وماذا يحدث للدالة tan x عندها؟