المعادلات المثلثية الأساسية – حلها على دائرة الوحدة

ماذا تعرض

تُعرض دائرة الوحدة والتمثيل البياني للدالة جنبًا إلى جنب لتوضيح سبب وجود عائلات من الحلول للمعادلات المثلثية الأساسية. في المعادلة sin x = m يقطع المستقيم y = m الدائرة في نقطتين متماثلتين بالنسبة إلى المحور الرأسي: x = α + k2π أو x = π − α + k2π. وفي المعادلة cos x = m تكون النقطتان متماثلتين بالنسبة إلى المحور الأفقي: x = ±α + k2π. أما في المعادلة tan x = m فالفرق بين النقطتين π، فتكفي عائلة واحدة α + kπ. تتطلب معادلتا الجيب وجيب التمام أن يكون |m| ≤ 1، أما معادلة الظل فلها حلول دائمًا.

طريقة الاستخدام

اختر «المعادلة» وابدأ بالأزرار السريعة m = 1/2 و m = √2/2 و m = 1، وقارن النقاط المحددة على الدائرة بنقاط التقاطع على التمثيل البياني. ثم حرّك «قيمة m» ببطء متجاوزًا 1 و −1، ولاحظ اختفاء الحلول. انتقل إلى tan x = m وكرر ذلك. أوقف «إظهار التمثيل البياني للدالة» ليتوقع الطلاب عائلة الحلول من الدائرة وحدها قبل التحقق.

المعاملات القابلة للتغيير

• المعادلة sin x = m, cos x = m, tan x = m
• قيمة m -2–2
• إظهار التمثيل البياني للدالة

أسئلة للاستكشاف

1. لماذا تعطي المعادلة sin x = 1 عائلة حلول واحدة بدلًا من عائلتين؟
2. هل للمعادلة cos x = 1.5 حل؟ وكيف تبيّن دائرة الوحدة ذلك؟
3. لماذا تتكرر حلول المعادلة tan x = m كل π بدلًا من كل 2π؟