النسب المثلثية للزاوية الحادة – قياس الارتفاع بزاوية الارتفاع

ماذا تعرض

في المثلث ABC القائم الزاوية في A، تُعرَّف نسب الزاوية الحادة α عند B كما يلي: sin α = المقابل/الوتر، و cos α = المجاور/الوتر، و tan α = المقابل/المجاور، و cot α = المجاور/المقابل. وتكبير المثلث مع إبقاء α ثابتة لا يغيّر أيًّا من هذه النسب، فهي تتوقف على الزاوية وحدها. وتُتحقَّق المتطابقة sin²α + cos²α = 1 والعلاقة sin C = cos α للزاويتين المتتامتين مباشرة أثناء التغيير. أما وضع التطبيق فيوجد ارتفاع مبنى من زاوية الارتفاع: h = d·tan α مضافًا إليه ارتفاع عين الراصد.

طريقة الاستخدام

في وضع «مثلث قائم» غيّر «الزاوية الحادة α» ولاحظ تحدّث النسب الأربع، ثم ثبّت α وغيّر «الضلع المجاور AB» لتبيّن أن النسب لا تتغير. انتقل إلى «قياس ارتفاع مبنى»، واضبط المسافة وزاوية الارتفاع و«ارتفاع عين الراصد»، واطلب من الطلاب حساب الارتفاع باستخدام tan α قبل قراءة الجواب. ناقش ما يحدث إذا أُهمل ارتفاع العين.

المعاملات القابلة للتغيير

• الزاوية الحادة α 5–85 درجة
• الضلع المجاور AB (المسافة إلى المبنى) 1–20 m
• الوضع مثلث قائم – النسب المثلثية, تطبيق: قياس ارتفاع مبنى
• ارتفاع عين الراصد 1–2 m

أسئلة للاستكشاف

1. لماذا تكون sin α أصغر من 1 دائمًا للزاوية الحادة؟
2. عندما تزداد α من 5° إلى 85°، كيف تتغير tan α؟
3. ما مقدار الخطأ في ارتفاع المبنى إذا أهملت ارتفاع عين الراصد؟