المتطابقات المثلثية – فيثاغورس والزوايا المركبة وضعف الزاوية والصورة R cos(θ − α)
الرياضياتحساب المثلثات16–17 سنة
جارٍ التحميل…
سجّل الدخول للتشغيلاسحب الزوايا على دائرة الوحدة وعلى مخطط المثلثين القائمين المتراكبين لتتحقق هندسيًا وعدديًا من sin²θ + cos²θ = 1 و 1 + tan²θ = sec²θ و 1 + cot²θ = cosec²θ، ومن صيغ مجموع زاويتين والفرق بينهما: sin(α ± β) و cos(α ± β) و tan(α ± β)، ومن صيغ ضعف الزاوية. وتكتب شاشة الموجات المقدار a cos θ + b sin θ على الصورة R cos(θ − α) أو R sin(θ + α)، ويرسم فاحص المتطابقات طرفي أي معادلة تكتبها.
الدرس: المتطابقات المثلثية: متطابقات فيثاغورس، وصيغ مجموع زاويتين والفرق بينهما وضعف الزاوية، والصورة التوافقية a cos θ + b sin θ = R cos(θ − α)
ماذا تعرض
تُبنى كل متطابقة من مثلثات قائمة الزاوية. فعلى دائرة الوحدة تعطي المثلثات التي أضلاعها cos θ و sin θ و tan θ و cot θ متطابقات فيثاغورس الثلاث. ويعطي مثلثان قائمان متراكبان داخل مستطيل، بالزاوية α ثم β ووتر طوله 1، القيمتين sin(α ± β) و cos(α ± β) إحداثيين للنقطة P، وبقسمة إحداهما على الأخرى نحصل على tan(α ± β). ويعطي مثلث مرسوم في نصف دائرة صيغ ضعف الزاوية. وتبيّن شاشة الموجات أن a cos θ + b sin θ موجة جيبية واحدة سعتها R = √(a² + b²). تستخدم المخططات زوايا من 0° إلى 90°، لكن الصيغ صحيحة لجميع الزوايا.
طريقة الاستخدام
اختر شاشة. في «فيثاغورس» اسحب P أو منزلق θ، واضغط متطابقة لإبراز مثلثها. في «الزوايا المركبة» اسحب Q لتغيير α و P لتغيير β، وبدّل بين α + β و α − β. في «a cos θ + b sin θ» اضبط a و b واسحب على المنحنى. في «فاحص المتطابقات» اختر من «مثال:» أو اكتب «الطرف الأول» و«الطرف الثاني».
المعاملات القابلة للتغيير
- الشاشة فيثاغورس, الزوايا المركبة, ضعف الزاوية, a cos θ + b sin θ, فاحص المتطابقات
- الزاوية θ (شاشات فيثاغورس وضعف الزاوية و a cos θ + b sin θ) 0–360 °
- الزاوية α (شاشة الزوايا المركبة) 0–90 °
- الزاوية β (شاشة الزوايا المركبة) 0–90 °
- العملية (شاشة الزوايا المركبة) α + β, α − β
- المعامل a للحد cos θ -5–5
- المعامل b للحد sin θ -5–5
- الصورة التوافقية R cos(θ − α), R sin(θ + α)
- متطابقة مثال (شاشة فاحص المتطابقات) sin²x + cos²x = 1, 1 + tan²x = sec²x, 1 + cot²x = cosec²x, sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = 1 − 2sin²x, tan 2x = 2tan x / (1 − tan²x), sin(x + π/3) = sin x cos π/3 + cos x sin π/3, cos(x − π/4) = cos x cos π/4 + sin x sin π/4, 3cos x + 4sin x = 5cos(x − α), tan α = 4/3, tan x + cot x = sec x cosec x, (1 − cos 2x)/sin 2x = tan x, sin 2x = 2sin x ?, cos(x + π/4) = cos x + cos π/4 ?, (sin x + cos x)² = 1 ?
أسئلة للاستكشاف
- أي قطعتين في المستطيل تساويان sin α cos β و cos α sin β، ولماذا يساوي مجموعهما sin(α + β)؟
- إذا كان a = 3 و b = 4، فما القيمة العظمى للمقدار 3 cos θ + 4 sin θ، وعند أي زاوية تتحقق؟
- لماذا لا تُعدّ cos(x + π/4) = cos x + cos π/4 متطابقة، وما المثال المضاد الذي يمكنك إيجاده؟
