Matriks 2 × 2 sebagai transformasi – determinan, komposisi, invers, dan vektor eigen

Yang ditunjukkan

Matriks 2 × 2 M memetakan setiap titik x pada bidang ke Mx. Kolom-kolomnya adalah bayangan (1, 0) dan (0, 1), sehingga rotasi, refleksi, dilatasi, gusuran, dan regangan masing-masing punya matriks sendiri. Determinan ad − bc adalah faktor skala luas bertanda: nilai negatif berarti bayangan tercermin, dan nol berarti bidang dipipihkan menjadi sebuah garis sehingga tidak ada invers. Melakukan A lalu B sama dengan hasil kali BA. Vektor eigen mempertahankan arahnya, Mv = λv, dan dengan dua nilai eigen berbeda M = PDP⁻¹, sehingga pangkat Mⁿ mudah dihitung.

Cara menggunakan

Di Transformasi, pilih Matriks siap pakai atau ketik keempat entrinya, seret ujung panah î′ dan ĵ′ atau titik P, lalu tekan Animasikan I → M. Di Komposisi, pilih Pertama: A dan Lalu: B, lalu bandingkan kedua urutan. Di Invers & sistem, pilih Sistem dan ubah koefisiennya. Di Vektor eigen, seret v mengelilingi lingkaran atau tekan Sapu v, dan ubah Pangkat n.

Parameter yang dapat diubah

• Layar Transformasi, Komposisi, Invers & sistem, Vektor eigen
• Matriks siap pakai Kustom, Matriks identitas I, Rotasi terhadap O, Refleksi terhadap garis melalui O, Dilatasi dengan pusat O, Gusuran sejajar sumbu x, Gusuran sejajar sumbu y, Regangan sejajar sumbu x, Regangan sejajar sumbu y, Proyeksi ke sebuah garis
• Entri a (baris 1, kolom 1) -4–4
• Entri b (baris 1, kolom 2) -4–4
• Entri c (baris 2, kolom 1) -4–4
• Entri d (baris 2, kolom 2) -4–4
• Sudut θ (rotasi, refleksi, proyeksi) -180–180 °
• Faktor k (dilatasi, gusuran, regangan) -3–3
• Bangun Hanya persegi satuan, Huruf F, Segitiga, Lingkaran satuan
• Tampilkan kisi hasil transformasi
• Tambahkan translasi t
• Komponen x dari t -4–4
• Komponen y dari t -4–4
• Transformasi pertama A Identitas, Rotasi 90°, Rotasi 180°, Rotasi −90°, Rotasi 45°, Refleksi terhadap sumbu x, Refleksi terhadap sumbu y, Refleksi terhadap y = x, Refleksi terhadap y = −x, Dilatasi faktor 2, Dilatasi faktor ½, Gusuran arah x, k = 1, Gusuran arah y, k = 1, Regangan arah x, faktor 2, Regangan arah y, faktor 2
• Transformasi kedua B Identitas, Rotasi 90°, Rotasi 180°, Rotasi −90°, Rotasi 45°, Refleksi terhadap sumbu x, Refleksi terhadap sumbu y, Refleksi terhadap y = x, Refleksi terhadap y = −x, Dilatasi faktor 2, Dilatasi faktor ½, Gusuran arah x, k = 1, Gusuran arah y, k = 1, Regangan arah x, faktor 2, Regangan arah y, faktor 2
• Urutan yang ditampilkan (layar Komposisi) Kedua urutan, A lalu B (BA), B lalu A (AB)
• Sistem persamaan Penyelesaian tunggal (2 variabel), Garis sejajar (2 variabel), Garis berimpit (2 variabel), Tiga variabel (3 × 3)
• Gambaran sistem 2 × 2 Baris: dua garis, Kolom: kombinasi vektor
• Matriks (layar Vektor eigen) Matriks simetris, Matriks segitiga, Matriks transisi (jumlah tiap kolom 1), Refleksi terhadap y = x, Gusuran (satu garis vektor eigen), Rotasi 90° (tanpa vektor eigen real), Matriks M dari layar Transformasi
• Pangkat n dari Mⁿ 1–10
• Tampilkan titik x₀, Mx₀, M²x₀, …

Pertanyaan untuk dijelajahi

1. Matriks mana yang melipattigakan luas huruf F tanpa mencerminkannya, dan mana yang mencerminkannya tetapi mempertahankan luasnya?
2. Apakah rotasi 90° lalu refleksi terhadap sumbu x memberi bayangan yang sama dengan urutan sebaliknya? Transformasi tunggal apakah masing-masing?
3. Mengapa mengalikan sebuah vektor berulang kali dengan matriks transisi membuatnya mengarah ke satu vektor eigen?