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Matrices 2 × 2 como transformaciones – determinante, composición, inversa y vectores propios

MatemáticasVectores y geometría analíticaEdades 16–17

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Edita una matriz 2 × 2, o arrastra las imágenes de los dos vectores unitarios, y observa cómo se transforman el cuadrado unidad y una figura (letra F, triángulo, circunferencia), con el determinante como factor de escala del área con signo. Hay giros, simetrías, homotecias, cizallas, estiramientos y proyecciones, además de una traslación opcional. La pantalla Composición muestra que el orden importa (BA ≠ AB), la pantalla Inversa y sistemas resuelve AX = B con A⁻¹ (también 3 × 3) y la pantalla Vectores propios muestra que los vectores propios se quedan en su recta y calcula Mⁿ por diagonalización.

Lección: Matrices como transformaciones lineales: producto de matrices, determinante y área, composición, matriz inversa, resolución de AX = B, valores propios, vectores propios y diagonalización

Qué muestra

Una matriz 2 × 2 M lleva cada punto x del plano a Mx. Sus columnas son las imágenes de (1, 0) y (0, 1), así que giros, simetrías, homotecias, cizallas y estiramientos tienen cada uno su matriz. El determinante ad − bc es el factor de escala del área con signo: un valor negativo indica que la imagen está reflejada, y cero que el plano se aplasta sobre una recta, por lo que no hay inversa. Aplicar A y después B es el producto BA. Un vector propio conserva su dirección, Mv = λv, y con dos valores propios distintos M = PDP⁻¹, lo que facilita calcular Mⁿ.

Cómo usarla

En Transformar, elige una Matriz predefinida o escribe sus cuatro entradas, arrastra las puntas de flecha î′ y ĵ′ o el punto P y pulsa Animar I → M. En Composición, elige Primero: A y Después: B y compara los dos órdenes. En Inversa y sistemas, elige un Sistema y cambia los coeficientes. En Vectores propios, arrastra v alrededor de la circunferencia o pulsa Barrer v, y cambia la Potencia n.

Parámetros que puedes cambiar

  • Pantalla Transformar, Composición, Inversa y sistemas, Vectores propios
  • Matriz predefinida Personalizada, Matriz identidad I, Giro de centro O, Simetría respecto a una recta por O, Homotecia de centro O, Cizalla paralela al eje x, Cizalla paralela al eje y, Estiramiento paralelo al eje x, Estiramiento paralelo al eje y, Proyección sobre una recta
  • Entrada a (fila 1, columna 1) -4–4
  • Entrada b (fila 1, columna 2) -4–4
  • Entrada c (fila 2, columna 1) -4–4
  • Entrada d (fila 2, columna 2) -4–4
  • Ángulo θ (giro, simetría, proyección) -180–180 °
  • Factor k (homotecia, cizalla, estiramiento) -3–3
  • Figura Solo el cuadrado unidad, Letra F, Triángulo, Círculo unidad
  • Mostrar la cuadrícula transformada
  • Añadir una traslación t
  • Componente x de t -4–4
  • Componente y de t -4–4
  • Primera transformación A Identidad, Giro de 90°, Giro de 180°, Giro de −90°, Giro de 45°, Simetría respecto al eje x, Simetría respecto al eje y, Simetría respecto a y = x, Simetría respecto a y = −x, Homotecia de razón 2, Homotecia de razón ½, Cizalla en x, k = 1, Cizalla en y, k = 1, Estiramiento en x, factor 2, Estiramiento en y, factor 2
  • Segunda transformación B Identidad, Giro de 90°, Giro de 180°, Giro de −90°, Giro de 45°, Simetría respecto al eje x, Simetría respecto al eje y, Simetría respecto a y = x, Simetría respecto a y = −x, Homotecia de razón 2, Homotecia de razón ½, Cizalla en x, k = 1, Cizalla en y, k = 1, Estiramiento en x, factor 2, Estiramiento en y, factor 2
  • Orden mostrado (pantalla Composición) Ambos órdenes, A y después B (BA), B y después A (AB)
  • Sistema de ecuaciones Solución única (2 incógnitas), Rectas paralelas (2 incógnitas), Misma recta (2 incógnitas), Tres incógnitas (3 × 3)
  • Representación de un sistema 2 × 2 Filas: dos rectas, Columnas: combinar vectores
  • Matriz (pantalla Vectores propios) Matriz simétrica, Matriz triangular, Matriz de transición (columnas suman 1), Simetría respecto a y = x, Cizalla (una recta de vectores propios), Giro de 90° (sin vectores propios reales), Matriz M de la pantalla Transformar
  • Potencia n de Mⁿ 1–10
  • Mostrar los puntos x₀, Mx₀, M²x₀, …

Preguntas para explorar

  1. ¿Qué matriz triplica el área de la letra F sin reflejarla, y cuál la refleja pero conserva su área?
  2. ¿Un giro de 90° seguido de una simetría respecto al eje x da la misma imagen que el orden contrario? ¿Qué transformación única es cada uno?
  3. ¿Por qué al multiplicar un vector una y otra vez por una matriz de transición este se orienta hacia un vector propio?

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