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2 × 2-Matrizen als Abbildungen – Determinante, Verkettung, Inverse und Eigenvektoren

MathematikVektoren und analytische GeometrieAlter 16–17

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Ändern Sie eine 2 × 2-Matrix oder ziehen Sie die Bilder der beiden Einheitsvektoren und beobachten Sie, wie sich das Einheitsquadrat und eine Figur (Buchstabe F, Dreieck, Kreis) verändern; die Determinante ist der vorzeichenbehaftete Flächenfaktor. Vorlagen gibt es für Drehung, Spiegelung, zentrische Streckung, Scherung, achsenparallele Streckung und Projektion, dazu eine optionale Verschiebung. Die Seite Verkettung zeigt, dass die Reihenfolge zählt (BA ≠ AB), die Seite Inverse & Gleichungssysteme löst AX = B mit A⁻¹ (auch 3 × 3), und die Seite Eigenvektoren zeigt Eigenvektoren, die auf ihrer Geraden bleiben, sowie Mⁿ über Diagonalisierung.

Lektion: Matrizen als lineare Abbildungen: Matrizenmultiplikation, Determinante und Flächeninhalt, Verkettung, inverse Matrix, Lösen von AX = B, Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierung

Was sie zeigt

Eine 2 × 2-Matrix M bildet jeden Punkt x der Ebene auf Mx ab. Ihre Spalten sind die Bilder von (1 | 0) und (0 | 1), daher hat jede Drehung, Spiegelung, zentrische Streckung, Scherung und Streckung ihre eigene Matrix. Die Determinante ad − bc ist der vorzeichenbehaftete Flächenfaktor: Ein negativer Wert bedeutet ein gespiegeltes Bild, null bedeutet, dass die Ebene auf eine Gerade gedrückt wird und keine Inverse existiert. Erst A, dann B entspricht dem Produkt BA. Ein Eigenvektor behält seine Richtung, Mv = λv, und bei zwei verschiedenen Eigenwerten gilt M = PDP⁻¹, womit Potenzen Mⁿ leicht zu berechnen sind.

So funktioniert es

Wählen Sie unter Abbilden eine Matrix-Vorlage oder tippen Sie die vier Einträge ein, ziehen Sie die Pfeilspitzen î′ und ĵ′ oder den Punkt P und klicken Sie auf Animieren I → M. Wählen Sie unter Verkettung Zuerst: A und Dann: B und vergleichen Sie beide Reihenfolgen. Wählen Sie unter Inverse & LGS ein System und ändern Sie die Koeffizienten. Ziehen Sie unter Eigenvektoren v um den Kreis oder klicken Sie auf v kreisen lassen, und ändern Sie die Potenz n.

Einstellbare Parameter

  • Seite Abbilden, Verkettung, Inverse & Gleichungssysteme, Eigenvektoren
  • Matrix-Vorlage Eigene, Einheitsmatrix I, Drehung um O, Spiegelung an einer Geraden durch O, Zentrische Streckung mit Zentrum O, Scherung parallel zur x-Achse, Scherung parallel zur y-Achse, Streckung parallel zur x-Achse, Streckung parallel zur y-Achse, Projektion auf eine Gerade
  • Eintrag a (Zeile 1, Spalte 1) -4–4
  • Eintrag b (Zeile 1, Spalte 2) -4–4
  • Eintrag c (Zeile 2, Spalte 1) -4–4
  • Eintrag d (Zeile 2, Spalte 2) -4–4
  • Winkel θ (Drehung, Spiegelung, Projektion) -180–180 °
  • Faktor k (Streckung, Scherung) -3–3
  • Figur Nur Einheitsquadrat, Buchstabe F, Dreieck, Einheitskreis
  • Abgebildetes Gitter zeigen
  • Verschiebung t hinzufügen
  • x-Komponente von t -4–4
  • y-Komponente von t -4–4
  • Erste Abbildung A Identität, Drehung um 90°, Drehung um 180°, Drehung um −90°, Drehung um 45°, Spiegelung an der x-Achse, Spiegelung an der y-Achse, Spiegelung an y = x, Spiegelung an y = −x, Zentr. Streckung ×2, Zentr. Streckung ×½, Scherung in x-Richtung, k = 1, Scherung in y-Richtung, k = 1, Streckung in x-Richtung, Faktor 2, Streckung in y-Richtung, Faktor 2
  • Zweite Abbildung B Identität, Drehung um 90°, Drehung um 180°, Drehung um −90°, Drehung um 45°, Spiegelung an der x-Achse, Spiegelung an der y-Achse, Spiegelung an y = x, Spiegelung an y = −x, Zentr. Streckung ×2, Zentr. Streckung ×½, Scherung in x-Richtung, k = 1, Scherung in y-Richtung, k = 1, Streckung in x-Richtung, Faktor 2, Streckung in y-Richtung, Faktor 2
  • Gezeigte Reihenfolge (Seite Verkettung) Beide Reihenfolgen, Erst A, dann B (BA), Erst B, dann A (AB)
  • Gleichungssystem Eindeutig lösbar (2 Unbekannte), Parallele Geraden (2 Unbekannte), Gleiche Gerade (2 Unbekannte), Drei Unbekannte (3 × 3)
  • Darstellung eines 2 × 2-Systems Zeilen: zwei Geraden, Spalten: Vektoren kombinieren
  • Matrix (Seite Eigenvektoren) Symmetrische Matrix, Dreiecksmatrix, Übergangsmatrix (Spaltensumme 1), Spiegelung an y = x, Scherung (nur eine Eigenvektorgerade), Drehung um 90° (keine reellen Eigenvektoren), Matrix M von der Seite Abbilden
  • Potenz n von Mⁿ 1–10
  • Punkte x₀, Mx₀, M²x₀, … zeigen

Fragen zum Erkunden

  1. Welche Matrix verdreifacht den Flächeninhalt des Buchstabens F, ohne ihn zu spiegeln, und welche spiegelt ihn bei gleichem Flächeninhalt?
  2. Ergibt eine 90°-Drehung mit anschließender Spiegelung an der x-Achse dasselbe Bild wie die umgekehrte Reihenfolge? Welche einzelne Abbildung ist es jeweils?
  3. Warum richtet sich ein Vektor, den man immer wieder mit einer Übergangsmatrix multipliziert, nach einem Eigenvektor aus?

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