Simulic
Français

Matrices 2 × 2 et transformations du plan – déterminant, composition, inverse et vecteurs propres

MathématiquesVecteurs et géométrie repérée16–17 ans

Chargement…

Utiliser avec ma classe ✨ Personnaliser avec l'IA Signaler un problème

Modifiez une matrice 2 × 2, ou déplacez les images des deux vecteurs unitaires, et voyez le carré unité et une figure (lettre F, triangle, cercle) se transformer, le déterminant donnant le facteur d'aire signé. Des modèles proposent rotation, symétrie axiale, homothétie, transvection, dilatation et projection, avec une translation en option. L'écran Composition montre que l'ordre compte (BA ≠ AB), l'écran Inverse et systèmes résout AX = B avec A⁻¹ (y compris en 3 × 3), et l'écran Vecteurs propres montre les vecteurs propres qui restent sur leur droite et calcule Mⁿ par diagonalisation.

Leçon : Matrices et transformations linéaires : produit de matrices, déterminant et aire, composition, matrice inverse, résolution de AX = B, valeurs propres, vecteurs propres et diagonalisation

Ce qu’elle montre

Une matrice 2 × 2 M envoie chaque point x du plan sur Mx. Ses colonnes sont les images de (1 ; 0) et (0 ; 1) : rotations, symétries, homothéties, transvections et dilatations ont chacune leur matrice. Le déterminant ad − bc est le facteur d'aire signé : une valeur négative signifie que l'image est retournée, et zéro que le plan est écrasé sur une droite, donc sans inverse. Appliquer A puis B correspond au produit BA. Un vecteur propre garde sa direction, Mv = λv, et avec deux valeurs propres distinctes M = PDP⁻¹, ce qui simplifie le calcul de Mⁿ.

Mode d’emploi

Dans Transformer, choisissez un modèle de Matrice ou saisissez les quatre coefficients, déplacez les pointes de flèche î′ et ĵ′ ou le point P, puis cliquez sur Animer I → M. Dans Composition, choisissez D'abord : A et Ensuite : B et comparez les deux ordres. Dans Inverse et systèmes, choisissez un Système et modifiez les coefficients. Dans Vecteurs propres, faites tourner v sur le cercle ou cliquez sur Balayer v, et changez la Puissance n.

Paramètres modifiables

  • Écran Transformer, Composition, Inverse et systèmes, Vecteurs propres
  • Modèle de matrice Personnalisée, Matrice identité I, Rotation de centre O, Symétrie d'axe passant par O, Homothétie de centre O, Transvection parallèle à (Ox), Transvection parallèle à (Oy), Dilatation parallèle à (Ox), Dilatation parallèle à (Oy), Projection sur une droite
  • Coefficient a (ligne 1, colonne 1) -4–4
  • Coefficient b (ligne 1, colonne 2) -4–4
  • Coefficient c (ligne 2, colonne 1) -4–4
  • Coefficient d (ligne 2, colonne 2) -4–4
  • Angle θ (rotation, symétrie, projection) -180–180 °
  • Rapport k (homothétie, transvection, dilatation) -3–3
  • Figure Carré unité seul, Lettre F, Triangle, Cercle unité
  • Afficher le quadrillage transformé
  • Ajouter une translation t
  • Composante x de t -4–4
  • Composante y de t -4–4
  • Première transformation A Identité, Rotation de 90°, Rotation de 180°, Rotation de −90°, Rotation de 45°, Symétrie d'axe (Ox), Symétrie d'axe (Oy), Symétrie d'axe y = x, Symétrie d'axe y = −x, Homothétie ×2, Homothétie ×½, Transvection selon x, k = 1, Transvection selon y, k = 1, Dilatation selon x, rapport 2, Dilatation selon y, rapport 2
  • Seconde transformation B Identité, Rotation de 90°, Rotation de 180°, Rotation de −90°, Rotation de 45°, Symétrie d'axe (Ox), Symétrie d'axe (Oy), Symétrie d'axe y = x, Symétrie d'axe y = −x, Homothétie ×2, Homothétie ×½, Transvection selon x, k = 1, Transvection selon y, k = 1, Dilatation selon x, rapport 2, Dilatation selon y, rapport 2
  • Ordre affiché (écran Composition) Les deux ordres, A puis B (BA), B puis A (AB)
  • Système d'équations Solution unique (2 inconnues), Droites parallèles (2 inconnues), Même droite (2 inconnues), Trois inconnues (3 × 3)
  • Représentation d'un système 2 × 2 Lignes : deux droites, Colonnes : combiner des vecteurs
  • Matrice (écran Vecteurs propres) Matrice symétrique, Matrice triangulaire, Matrice de transition (colonnes de somme 1), Symétrie d'axe y = x, Transvection (une seule droite propre), Rotation de 90° (pas de vecteur propre réel), Matrice M de l'écran Transformer
  • Puissance n de Mⁿ 1–10
  • Afficher les points x₀, Mx₀, M²x₀, …

Questions à explorer

  1. Quelle matrice triple l'aire de la lettre F sans la retourner, et laquelle la retourne en conservant son aire ?
  2. Une rotation de 90° suivie d'une symétrie d'axe (Ox) donne-t-elle la même image que l'ordre inverse ? Quelle transformation unique obtient-on chaque fois ?
  3. Pourquoi multiplier sans cesse un vecteur par une matrice de transition l'oriente-t-il vers un vecteur propre ?

Simulations associées