Matrizes 2 × 2 como transformações – determinante, composição, inversa e autovetores

O que mostra

Uma matriz 2 × 2 M leva cada ponto x do plano a Mx. Suas colunas são as imagens de (1, 0) e (0, 1), então rotações, reflexões, homotetias, cisalhamentos e dilatações têm cada uma a sua matriz. O determinante ad − bc é o fator de escala da área com sinal: um valor negativo indica imagem espelhada, e zero indica que o plano foi achatado sobre uma reta, então não há inversa. Aplicar A e depois B é o produto BA. Um autovetor mantém sua direção, Mv = λv, e com dois autovalores distintos M = PDP⁻¹, o que facilita calcular Mⁿ.

Como usar

Em Transformar, escolha uma Matriz pronta ou digite as quatro entradas, arraste as pontas das setas î′ e ĵ′ ou o ponto P e clique em Animar I → M. Em Composição, escolha Primeiro: A e Depois: B e compare as duas ordens. Em Inversa e sistemas, escolha um Sistema e altere os coeficientes. Em Autovetores, arraste v ao redor da circunferência ou clique em Varrer v, e mude a Potência n.

Parâmetros que você pode mudar

• Tela Transformar, Composição, Inversa e sistemas, Autovetores
• Matriz pronta Personalizada, Matriz identidade I, Rotação em torno de O, Reflexão numa reta por O, Homotetia de centro O, Cisalhamento paralelo ao eixo x, Cisalhamento paralelo ao eixo y, Dilatação paralela ao eixo x, Dilatação paralela ao eixo y, Projeção sobre uma reta
• Entrada a (linha 1, coluna 1) -4–4
• Entrada b (linha 1, coluna 2) -4–4
• Entrada c (linha 2, coluna 1) -4–4
• Entrada d (linha 2, coluna 2) -4–4
• Ângulo θ (rotação, reflexão, projeção) -180–180 °
• Fator k (homotetia, cisalhamento, dilatação) -3–3
• Figura Só o quadrado unitário, Letra F, Triângulo, Círculo unitário
• Mostrar a malha transformada
• Adicionar uma translação t
• Componente x de t -4–4
• Componente y de t -4–4
• Primeira transformação A Identidade, Rotação de 90°, Rotação de 180°, Rotação de −90°, Rotação de 45°, Reflexão no eixo x, Reflexão no eixo y, Reflexão em y = x, Reflexão em y = −x, Homotetia de razão 2, Homotetia de razão ½, Cisalhamento em x, k = 1, Cisalhamento em y, k = 1, Dilatação em x, fator 2, Dilatação em y, fator 2
• Segunda transformação B Identidade, Rotação de 90°, Rotação de 180°, Rotação de −90°, Rotação de 45°, Reflexão no eixo x, Reflexão no eixo y, Reflexão em y = x, Reflexão em y = −x, Homotetia de razão 2, Homotetia de razão ½, Cisalhamento em x, k = 1, Cisalhamento em y, k = 1, Dilatação em x, fator 2, Dilatação em y, fator 2
• Ordem mostrada (tela Composição) As duas ordens, A e depois B (BA), B e depois A (AB)
• Sistema de equações Solução única (2 incógnitas), Retas paralelas (2 incógnitas), Mesma reta (2 incógnitas), Três incógnitas (3 × 3)
• Representação de um sistema 2 × 2 Linhas: duas retas, Colunas: combinar vetores
• Matriz (tela Autovetores) Matriz simétrica, Matriz triangular, Matriz de transição (colunas somam 1), Reflexão em y = x, Cisalhamento (uma reta de autovetores), Rotação de 90° (sem autovetores reais), Matriz M da tela Transformar
• Potência n de Mⁿ 1–10
• Mostrar os pontos x₀, Mx₀, M²x₀, …

Perguntas para explorar

1. Que matriz triplica a área da letra F sem espelhá-la, e qual a espelha mas mantém a área?
2. Uma rotação de 90° seguida de uma reflexão no eixo x dá a mesma imagem que a ordem inversa? Que transformação única é cada uma?
3. Por que multiplicar um vetor repetidamente por uma matriz de transição o faz se alinhar com um autovetor?