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Números complexos no plano de Argand-Gauss – operações, forma polar e teorema de De Moivre

MatemáticaÁlgebraIdades 15–16

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Arraste dois números complexos z e w no plano de Argand-Gauss e veja z + w como soma de vetores, zw como uma rotação de arg w com ampliação por |w|, z/w, o conjugado e a distância |z − w|, cada um na forma algébrica, na forma trigonométrica e na forma de Euler re^(iθ). A tela De Moivre desenha as potências zⁿ numa espiral e as n raízes n-ésimas de um número como um polígono regular. A tela Raízes de polinômios mostra raízes complexas conjugadas surgindo quando a parábola se afasta do eixo x (Δ < 0), além das raízes de uma cúbica.

Aula: Números complexos: forma algébrica, plano de Argand-Gauss, módulo e argumento, forma trigonométrica e de Euler, teorema de De Moivre, raízes n-ésimas, raízes complexas de equações do segundo e do terceiro grau

O que mostra

Um número complexo z = a + bi, com i² = −1, é um ponto do plano de Argand-Gauss, ou um vetor a partir da origem. Seu módulo |z| é o comprimento desse vetor e seu argumento arg z é o ângulo medido a partir do semieixo real positivo, o que dá a forma trigonométrica r(cos θ + i sen θ) = re^(iθ). Somar complexos é somar vetores; multiplicar multiplica os módulos e soma os argumentos, ou seja, gira e amplia. O teorema de De Moivre estende isso a potências e raízes, e polinômios com coeficientes reais têm suas raízes não reais em pares conjugados.

Como usar

Em Operações, arraste os pontos z e w ou mova os controles Re e Im, escolha uma Operação e clique em Animar para ver z chegar ao resultado. Os botões Definir w mostram o efeito de multiplicar por i, −1 ou 2. Em De Moivre e raízes, escolha Potências zⁿ ou Raízes n-ésimas de c, ajuste n e arraste o ponto. Em Raízes de polinômios, mova a, b e c, arraste o vértice ou clique em Variar c.

Parâmetros que você pode mudar

  • Tela Operações, De Moivre e raízes, Raízes de polinômios
  • Parte real de z -5–5
  • Parte imaginária de z -5–5
  • Parte real de w -5–5
  • Parte imaginária de w -5–5
  • Operação (tela Operações) z + w (somar), z − w (subtrair), z · w (multiplicar), z / w (dividir), z̄ (conjugado), |z − w| e ponto médio
  • Unidade de ângulo Graus, Radianos
  • Encaixar numa grade de 0,5 ao arrastar
  • Modo (tela De Moivre) Potências zⁿ, Raízes n-ésimas de c
  • Expoente ou índice da raiz n 1–12
  • Módulo de z (potências) ou de c (raízes) 0,2–4
  • Argumento de z ou de c -180–180 °
  • Grau do polinômio (tela de raízes) Segundo grau, Terceiro grau
  • Coeficiente a -3–3
  • Coeficiente b -6–6
  • Coeficiente c -6–10
  • Coeficiente d (terceiro grau) -6–6
  • Mostrar o caminho das raízes ao mudar o termo independente

Perguntas para explorar

  1. Para onde vai um ponto se você o multiplicar por i quatro vezes seguidas, e por quê?
  2. Por que as raízes n-ésimas de 1 sempre formam um polígono regular cujos vértices somam zero?
  3. Ao subir a parábola y = x² − 2x + c, que parte das raízes complexas muda e qual permanece igual?

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