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Nombres complexes dans le plan complexe – opérations, forme trigonométrique et formule de Moivre

MathématiquesAlgèbre15–16 ans

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Déplacez deux nombres complexes z et w dans le plan complexe et voyez z + w comme une somme de vecteurs, zw comme une rotation d'angle arg w suivie d'un agrandissement de rapport |w|, z/w, le conjugué et la distance |z − w|, chacun sous forme algébrique, trigonométrique et exponentielle re^(iθ). L'écran Moivre trace les puissances zⁿ sur une spirale et les n racines n-ièmes d'un nombre comme un polygone régulier. L'écran Racines de polynômes montre l'apparition de racines complexes conjuguées quand la parabole quitte l'axe des abscisses (Δ < 0), ainsi que les racines d'un polynôme de degré 3.

Leçon : Nombres complexes : forme algébrique, plan complexe, module et argument, formes trigonométrique et exponentielle, formule de Moivre, racines n-ièmes, racines complexes des équations du second et du troisième degré

Ce qu’elle montre

Un nombre complexe z = a + bi, avec i² = −1, est un point du plan complexe, ou un vecteur issu de l'origine. Son module |z| est la longueur de ce vecteur et son argument arg z est l'angle mesuré depuis le demi-axe réel positif, d'où la forme trigonométrique r(cos θ + i sin θ) = re^(iθ). Additionner des complexes revient à additionner des vecteurs ; multiplier multiplie les modules et additionne les arguments, c'est-à-dire tourne et agrandit. La formule de Moivre étend cela aux puissances et aux racines, et un polynôme à coefficients réels a ses racines non réelles par paires conjuguées.

Mode d’emploi

Dans Opérations, déplacez les points z et w ou les curseurs Re et Im, choisissez une Opération et cliquez sur Animer pour voir z rejoindre le résultat. Les boutons Fixer w montrent l'effet d'une multiplication par i, −1 ou 2. Dans Moivre et racines, choisissez Puissances zⁿ ou Racines n-ièmes de c, réglez n et déplacez le point. Dans Racines de polynômes, réglez a, b et c, déplacez le sommet ou cliquez sur Faire varier c.

Paramètres modifiables

  • Écran Opérations, Moivre et racines, Racines de polynômes
  • Partie réelle de z -5–5
  • Partie imaginaire de z -5–5
  • Partie réelle de w -5–5
  • Partie imaginaire de w -5–5
  • Opération (écran Opérations) z + w (somme), z − w (différence), z · w (produit), z / w (quotient), z̄ (conjugué), |z − w| et milieu
  • Unité d'angle Degrés, Radians
  • Aimanter sur une grille de 0,5 pendant le déplacement
  • Mode (écran Moivre) Puissances zⁿ, Racines n-ièmes de c
  • Exposant ou indice de la racine n 1–12
  • Module de z (puissances) ou de c (racines) 0,2–4
  • Argument de z ou de c -180–180 °
  • Degré du polynôme (écran racines) Second degré, Troisième degré
  • Coefficient a -3–3
  • Coefficient b -6–6
  • Coefficient c -6–10
  • Coefficient d (degré 3) -6–6
  • Afficher le chemin des racines quand le terme constant varie

Questions à explorer

  1. Où va un point si vous le multipliez quatre fois de suite par i, et pourquoi ?
  2. Pourquoi les racines n-ièmes de 1 forment-elles toujours un polygone régulier dont la somme des sommets est nulle ?
  3. Quand on monte la parabole y = x² − 2x + c, quelle partie de ses racines complexes change et laquelle reste fixe ?

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