Simulic
Bahasa Indonesia

Bilangan kompleks pada diagram Argand – operasi, bentuk polar, dan teorema De Moivre

MatematikaAljabarUsia 15–16

Memuat…

Gunakan di kelas saya ✨ Sesuaikan dengan AI Laporkan masalah

Seret dua bilangan kompleks z dan w pada diagram Argand dan lihat z + w sebagai penjumlahan vektor, zw sebagai rotasi sebesar arg w dengan perbesaran |w|, z/w, sekawan, dan jarak |z − w|, masing-masing dalam bentuk kartesius, bentuk modulus-argumen, dan bentuk Euler re^(iθ). Layar De Moivre menggambar pangkat zⁿ pada sebuah spiral dan n akar pangkat n dari suatu bilangan sebagai segi banyak beraturan. Layar Akar polinomial menunjukkan akar kompleks sekawan muncul saat parabola terangkat dari sumbu x (Δ < 0), serta akar-akar polinomial kubik.

Pelajaran: Bilangan kompleks: bentuk kartesius, diagram Argand, modulus dan argumen, bentuk polar dan Euler, teorema De Moivre, akar pangkat n, akar kompleks persamaan kuadrat dan kubik

Yang ditunjukkan

Bilangan kompleks z = a + bi, dengan i² = −1, adalah sebuah titik pada diagram Argand, atau vektor dari titik asal. Modulus |z| adalah panjang vektor itu dan argumen arg z adalah sudut dari sumbu real positif, sehingga diperoleh bentuk polar r(cos θ + i sin θ) = re^(iθ). Menjumlahkan bilangan kompleks sama dengan menjumlahkan vektor; mengalikan berarti mengalikan modulus dan menjumlahkan argumen, jadi memutar dan memperbesar. Teorema De Moivre memperluas hal ini ke pangkat dan akar, dan polinomial berkoefisien real memiliki akar tak real yang berpasangan sekawan.

Cara menggunakan

Di Operasi, seret titik z dan w atau geser slider Re dan Im, pilih Operasi, lalu tekan Animasikan untuk melihat z bergerak ke hasilnya. Tombol Atur w menunjukkan efek perkalian dengan i, −1, atau 2. Di De Moivre & akar, pilih Pangkat zⁿ atau Akar pangkat n dari c, atur n, lalu seret titiknya. Di Akar polinomial, geser a, b, dan c, seret titik puncak, atau tekan Ubah c.

Parameter yang dapat diubah

  • Layar Operasi, De Moivre & akar, Akar polinomial
  • Bagian real z -5–5
  • Bagian imajiner z -5–5
  • Bagian real w -5–5
  • Bagian imajiner w -5–5
  • Operasi (layar Operasi) z + w (jumlah), z − w (selisih), z · w (kali), z / w (bagi), z̄ (sekawan), |z − w| dan titik tengah
  • Satuan sudut Derajat, Radian
  • Tempel ke kisi 0,5 saat diseret
  • Mode (layar De Moivre) Pangkat zⁿ, Akar pangkat n dari c
  • Pangkat atau indeks akar n 1–12
  • Modulus z (pangkat) atau c (akar) 0,2–4
  • Argumen z atau c -180–180 °
  • Derajat polinomial (layar akar) Kuadrat, Kubik
  • Koefisien a -3–3
  • Koefisien b -6–6
  • Koefisien c -6–10
  • Koefisien d (kubik) -6–6
  • Tampilkan lintasan akar saat suku tetap berubah

Pertanyaan untuk dijelajahi

  1. Ke mana sebuah titik berpindah jika Anda mengalikannya dengan i empat kali berturut-turut, dan mengapa?
  2. Mengapa akar pangkat n dari 1 selalu membentuk segi banyak beraturan yang jumlah titik sudutnya nol?
  3. Saat parabola y = x² − 2x + c dinaikkan, bagian mana dari akar kompleksnya yang berubah dan mana yang tetap?

Simulasi terkait