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Komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene – Rechenarten, Polarform und Satz von de Moivre

MathematikAlgebraAlter 15–16

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Ziehen Sie zwei komplexe Zahlen z und w in der Gaußschen Zahlenebene und sehen Sie z + w als Vektoraddition, zw als Drehung um arg w mit Streckung um |w|, z/w, die konjugierte Zahl und den Abstand |z − w|, jeweils in Normalform, Polarform und Exponentialform re^(iθ). Die Seite De Moivre zeichnet die Potenzen zⁿ auf einer Spirale und die n n-ten Wurzeln einer Zahl als regelmäßiges Vieleck. Die Seite Nullstellen von Polynomen zeigt, wie konjugiert komplexe Nullstellen entstehen, wenn sich die Parabel von der x-Achse löst (Δ < 0), dazu die Nullstellen einer kubischen Funktion.

Lektion: Komplexe Zahlen: Normalform, Gaußsche Zahlenebene, Betrag und Argument, Polar- und Exponentialform, Satz von de Moivre, n-te Wurzeln, komplexe Lösungen quadratischer und kubischer Gleichungen

Was sie zeigt

Eine komplexe Zahl z = a + bi mit i² = −1 ist ein Punkt der Gaußschen Zahlenebene oder ein Vektor vom Ursprung aus. Ihr Betrag |z| ist die Länge dieses Vektors, ihr Argument arg z der Winkel zur positiven reellen Achse; daraus ergibt sich die Polarform r(cos θ + i sin θ) = re^(iθ). Addieren heißt Vektoren addieren; beim Multiplizieren werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert, also gedreht und gestreckt. Der Satz von de Moivre überträgt das auf Potenzen und Wurzeln, und Polynome mit reellen Koeffizienten haben nicht reelle Nullstellen nur in konjugierten Paaren.

So funktioniert es

Ziehen Sie auf der Seite Rechenarten die Punkte z und w oder die Regler Re und Im, wählen Sie eine Rechenart und klicken Sie auf Animieren, um z zum Ergebnis wandern zu sehen. Die Knöpfe w setzen zeigen die Wirkung der Multiplikation mit i, −1 oder 2. Wählen Sie unter De Moivre & Wurzeln Potenzen zⁿ oder n-te Wurzeln von c, stellen Sie n ein und ziehen Sie den Punkt. Verändern Sie unter Nullstellen a, b und c, ziehen Sie den Scheitel oder klicken Sie auf c variieren.

Einstellbare Parameter

  • Seite Rechenarten, De Moivre & Wurzeln, Nullstellen von Polynomen
  • Realteil von z -5–5
  • Imaginärteil von z -5–5
  • Realteil von w -5–5
  • Imaginärteil von w -5–5
  • Rechenart (Seite Rechenarten) z + w (addieren), z − w (subtrahieren), z · w (multiplizieren), z / w (dividieren), z̄ (konjugiert), |z − w| und Mittelpunkt
  • Winkeleinheit Grad, Bogenmaß
  • Beim Ziehen am 0,5-Raster einrasten
  • Modus (Seite De Moivre) Potenzen zⁿ, n-te Wurzeln von c
  • Exponent oder Wurzelexponent n 1–12
  • Betrag von z (Potenzen) oder c (Wurzeln) 0,2–4
  • Argument von z oder c -180–180 °
  • Grad des Polynoms (Seite Nullstellen) Quadratisch, Kubisch
  • Koeffizient a -3–3
  • Koeffizient b -6–6
  • Koeffizient c -6–10
  • Koeffizient d (kubisch) -6–6
  • Wege der Nullstellen zeigen, wenn sich das Absolutglied ändert

Fragen zum Erkunden

  1. Wohin gelangt ein Punkt, wenn Sie ihn viermal nacheinander mit i multiplizieren, und warum?
  2. Warum bilden die n-ten Wurzeln von 1 stets ein regelmäßiges Vieleck, dessen Ecken die Summe null haben?
  3. Welcher Teil der komplexen Nullstellen ändert sich, wenn die Parabel y = x² − 2x + c angehoben wird, und welcher bleibt gleich?

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