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Números complejos en el diagrama de Argand – operaciones, forma polar y teorema de De Moivre

MatemáticasÁlgebraEdades 15–16

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Arrastra dos números complejos z y w en el diagrama de Argand y observa z + w como suma de vectores, zw como un giro de arg w con un escalado por |w|, z/w, el conjugado y la distancia |z − w|, cada uno en forma binómica, módulo-argumento y forma de Euler re^(iθ). La pantalla De Moivre dibuja las potencias zⁿ en una espiral y las n raíces n-ésimas de un número como un polígono regular. La pantalla Raíces de polinomios muestra cómo aparecen raíces complejas conjugadas cuando la parábola se separa del eje x (Δ < 0), además de las raíces de una cúbica.

Lección: Números complejos: forma binómica, diagrama de Argand, módulo y argumento, forma polar y de Euler, teorema de De Moivre, raíces n-ésimas, raíces complejas de ecuaciones cuadráticas y cúbicas

Qué muestra

Un número complejo z = a + bi, con i² = −1, es un punto del diagrama de Argand, o un vector desde el origen. Su módulo |z| es la longitud de ese vector y su argumento arg z es el ángulo medido desde el semieje real positivo, lo que da la forma polar r(cos θ + i sen θ) = re^(iθ). Sumar complejos es sumar vectores; multiplicar multiplica los módulos y suma los argumentos, es decir, gira y escala. El teorema de De Moivre lo extiende a potencias y raíces, y los polinomios con coeficientes reales tienen sus raíces no reales en pares conjugados.

Cómo usarla

En Operaciones, arrastra los puntos z y w o mueve los deslizadores Re e Im, elige una Operación y pulsa Animar para ver cómo z llega al resultado. Los botones Fijar w muestran el efecto de multiplicar por i, −1 o 2. En De Moivre y raíces, elige Potencias zⁿ o Raíces n-ésimas de c, ajusta n y arrastra el punto. En Raíces de polinomios, mueve a, b y c, arrastra el vértice o pulsa Variar c.

Parámetros que puedes cambiar

  • Pantalla Operaciones, De Moivre y raíces, Raíces de polinomios
  • Parte real de z -5–5
  • Parte imaginaria de z -5–5
  • Parte real de w -5–5
  • Parte imaginaria de w -5–5
  • Operación (pantalla Operaciones) z + w (sumar), z − w (restar), z · w (multiplicar), z / w (dividir), z̄ (conjugado), |z − w| y punto medio
  • Unidad de ángulo Grados, Radianes
  • Ajustar a una cuadrícula de 0,5 al arrastrar
  • Modo (pantalla De Moivre) Potencias zⁿ, Raíces n-ésimas de c
  • Exponente o índice de la raíz n 1–12
  • Módulo de z (potencias) o de c (raíces) 0,2–4
  • Argumento de z o de c -180–180 °
  • Grado del polinomio (pantalla de raíces) Cuadrático, Cúbico
  • Coeficiente a -3–3
  • Coeficiente b -6–6
  • Coeficiente c -6–10
  • Coeficiente d (cúbico) -6–6
  • Mostrar la trayectoria de las raíces al cambiar el término independiente

Preguntas para explorar

  1. ¿Adónde va un punto si lo multiplicas por i cuatro veces seguidas, y por qué?
  2. ¿Por qué las raíces n-ésimas de 1 forman siempre un polígono regular cuyos vértices suman cero?
  3. Al subir la parábola y = x² − 2x + c, ¿qué parte de sus raíces complejas cambia y cuál se mantiene?

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