Polinômios em uma variável – gráfico, valor numérico e raízes

O que mostra

Um polinômio em uma variável é uma soma de termos aₖxᵏ; o grau é a maior potência com coeficiente não nulo, e uma raiz é um valor em que P(x) = 0. Um polinômio de grau d tem no máximo d raízes. Dividir P(x) por x − a dá um quociente Q(x) e um resto R com P(x) = (x − a)Q(x) + R. O teorema do resto diz que R = P(a), e daí vem o teorema do fator: x − a é um fator exatamente quando P(a) = 0. Com uma raiz conhecida, um polinômio do 3º grau se reduz a um do 2º grau, fácil de fatorar. Na forma fatorada P(x) = a(x − r₁)^m₁…, cada raiz rᵢ é uma interseção com o eixo x: o gráfico cruza o eixo quando a multiplicidade é ímpar e o toca quando é par. O termo dominante axⁿ define o comportamento nas extremidades, e um quadro de sinais montado com os sinais dos fatores resolve P(x) > 0 ou P(x) ≤ 0.

Como usar

Na tela Gráfico e raízes, defina o Grau e os coeficientes de a₃ a a₀ e arraste o ponto x pelo eixo x para calcular P(x). Na tela Divisão, escolha o divisor x − a ou x² + px + q e Método da chave ou Briot-Ruffini, e clique em Próximo passo para montar a conta. Arraste a no gráfico, ou clique em um candidato testado, até o resto ser 0, e leia a fatoração completa. Na tela Forma fatorada, arraste raízes pelo eixo x, toque em uma e escolha a Multiplicidade, use Adicionar raiz ou Remover raiz, ajuste a e o par complexo p ± qi e depois escolha uma Inequação ou o Contexto da caixa aberta.

Parâmetros que você pode mudar

• Grau do polinômio Grau 1: a₁x + a₀, Grau 2: a₂x² + a₁x + a₀, Grau 3: a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀
• Coeficiente a₃ (grau 3) -5–5
• Coeficiente a₂ -5–5
• Coeficiente a₁ -10–10
• Coeficiente a₀ (termo independente) -10–10
• Valor inicial de x -5–5
• Tela Gráfico e raízes, Divisão, Forma fatorada (raízes e multiplicidade)
• Método de divisão Método da chave, Briot-Ruffini
• Divisor x − a, x² + px + q
• Valor a do divisor x − a -5–5
• Coeficiente p do divisor x² + px + q -5–5
• Coeficiente q do divisor x² + px + q -5–5
• Coeficiente dominante a (forma fatorada) -3–3
• Raízes reais (forma fatorada), separadas por ; – repita um valor para uma raiz múltipla
• Parte real p do par complexo p ± qi -3–3
• Parte imaginária q do par complexo (0 = nenhum) 0–3
• Inequação (forma fatorada) P(x) > 0, P(x) ≥ 0, P(x) < 0, P(x) ≤ 0
• Contexto (forma fatorada) Nenhum (todo x real), Volume da caixa aberta, 0 < x < 4
• Mostrar as retas dos fatores

Perguntas para explorar

1. Por que x = 0 é raiz de P(x) exatamente quando o termo independente a₀ é 0?
2. Qual é o menor número de raízes que um polinômio de grau 3 pode ter, e por quê?
3. x = −1 é raiz de x² − 2x − 3, e como a substituição e o gráfico confirmam isso?