الرياضيات التطبيقية – المتغيرات العشوائية المنفصلة، الرياضيات المالية، الأمثلية

ماذا تعرض

تشترك ثلاثة موضوعات في صفحة واحدة. عدد مرات ظهور الوجه X عند رمي n قطعة نقدية متزنة متغير عشوائي منفصل، فيه P(X = k) = C(n; k)/2ⁿ، وقيمته المتوقعة n/2 وتباينه n/4؛ وآلاف الرميات المحاكاة تقرّب التكرارات التجريبية من هذا التوزيع، كما يتنبأ قانون الأعداد الكبيرة. وفي المال تنمو الفائدة البسيطة نموًا خطيًا A = P(1 + r·n)، بينما تنمو الفائدة المركبة نموًا أسيًا A = P(1 + r)ⁿ، ويحدد النموذج نفسه القسط الشهري المتساوي للقرض. وفي الأمثلية يعطي اقتطاع مربعات طول ضلعها x من لوح طول ضلعه a علبةً حجمها V(x) = x(a − 2x)²، وأكبر حجم عند x = a/6.

طريقة الاستخدام

اختر «الموضوع الحالي». للقطع النقدية، اضبط «عدد القطع النقدية في كل رمية»، وانقر «رمي 200 مرة» أو «رمي متواصل»، وقارن الأعمدة الحمراء بالحدود النظرية، والمتوسط التجريبي بالقيمة المتوقعة E(X). للمال، غيّر «معدل الفائدة السنوي الاسمي» و«عدد سنوات الإيداع أو الاقتراض»، وبدّل بين «عرض حساب التوفير» و«عرض القرض بالأقساط». للعلبة، اسحب على الورق المقوى لتغيير x، وراقب V(x)، ثم انقر «ضبط x = a/6» لتتحقق من القيمة العظمى.

المعاملات القابلة للتغيير

• الموضوع الحالي 1. المتغير العشوائي المنفصل, 2. الرياضيات في المال, 3. مسألة الأمثلية
• عدد القطع النقدية في كل رمية 1–12 قطعة
• مبلغ الإيداع أو القرض الأولي 1–500 ألف دولار
• معدل الفائدة السنوي الاسمي 0.5–20 %/سنة
• عدد سنوات الإيداع أو الاقتراض 1–30 سنة
• طول ضلع لوح الورق المقوى المربع المطوي علبةً 10–60 cm

أسئلة للاستكشاف

1. عند رمي 6 قطع نقدية، ما عدد مرات ظهور الوجه الأكثر احتمالًا، وما احتماله؟
2. لماذا يظل الفرق بين الفائدة المركبة والفائدة البسيطة يزداد مع مرور الزمن؟
3. ما قيم x التي يمكن معها صنع العلبة، ولماذا V(x) = 0 عند طرفي هذه الفترة؟