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Angewandte Mathematik – Zufallsgrößen, Finanzmathematik, Optimierung

MathematikFolgen und FinanzmathematikAlter 17–18

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Drei Vertiefungsthemen der Mathematik in einer Simulation, auswählbar über den Parameter Thema. Diskrete Zufallsgröße: Werfen Sie n Münzen tausendfach und vergleichen Sie die Säulen der relativen Häufigkeiten mit der theoretischen Wahrscheinlichkeitsverteilung, samt Erwartungswert und Varianz. Finanzmathematik: Vergleichen Sie einfache Verzinsung mit Zinseszins A = P(1+r)^n und berechnen Sie die Monatsrate eines Annuitätendarlehens. Optimierungsproblem: Ändern Sie per Ziehen die Größe der Quadrate, die aus den vier Ecken eines Kartons geschnitten werden, um eine oben offene Schachtel zu falten, beobachten Sie den Graphen des Volumens V(x) = x(a−2x)² und bestimmen Sie das Maximum mit Ableitungen.

Lektion: Diskrete Zufallsgrößen und ihre Kenngrößen; Finanzmathematik; Extremwertprobleme mit Ableitungen

Was sie zeigt

Drei Themen teilen sich eine Seite. Die Anzahl X der Köpfe beim Werfen von n fairen Münzen ist eine diskrete Zufallsgröße mit P(X = k) = C(n; k)/2ⁿ, Erwartungswert n/2 und Varianz n/4; Tausende simulierte Würfe bringen die relativen Häufigkeiten nahe an diese Verteilung, wie es das Gesetz der großen Zahlen vorhersagt. In der Finanzmathematik wachsen einfache Zinsen linear, A = P(1 + r·n), Zinseszinsen exponentiell, A = P(1 + r)ⁿ; dasselbe Modell bestimmt die gleichbleibende Monatsrate eines Darlehens. Bei der Optimierung entsteht durch Ausschneiden von Quadraten der Seite x aus einer Platte der Seite a eine Schachtel mit dem Volumen V(x) = x(a − 2x)², maximal bei x = a/6.

So funktioniert es

Wählen Sie das Aktuelle Thema. Bei den Münzen stellen Sie Anzahl der Münzen pro Wurf ein, klicken auf 200-mal werfen oder Dauerwerfen und vergleichen die roten Balken mit dem theoretischen Umriss sowie den Mittelwert mit E(X). In der Finanzmathematik ändern Sie Nominaler Jahreszinssatz und Laufzeit der Einlage oder des Kredits und wechseln zwischen Sparkonto zeigen und Darlehen zeigen. Bei der Schachtel ziehen Sie auf dem Karton, um x zu ändern, beobachten V(x) und prüfen das Maximum mit x = a/6 setzen.

Einstellbare Parameter

  • Aktuelles Thema 1. Diskrete Zufallsgröße, 2. Finanzmathematik, 3. Optimierungsproblem
  • Anzahl der Münzen pro Wurf 1–12 Münzen
  • Anfangseinlage oder Kreditbetrag 1–500 Tausend USD
  • Nominaler Jahreszinssatz 0,5–20 %/Jahr
  • Laufzeit der Einlage oder des Kredits 1–30 Jahre
  • Seitenlänge des quadratischen Kartons für die Schachtel 10–60 cm

Fragen zum Erkunden

  1. Welche Anzahl von Köpfen ist beim Werfen von 6 Münzen am wahrscheinlichsten, und wie groß ist ihre Wahrscheinlichkeit?
  2. Warum wächst der Unterschied zwischen Zinseszinsen und einfachen Zinsen mit der Zeit immer weiter?
  3. Für welche Werte von x lässt sich die Schachtel falten, und warum ist V(x) = 0 an beiden Enden dieses Intervalls?

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