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Matemáticas aplicadas – variables aleatorias, matemática financiera, optimización

MatemáticasSucesiones y matemática financieraEdades 17–18

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Tres temas de ampliación de matemáticas en una sola simulación, que se eligen con el parámetro de tema. Variable aleatoria discreta: lanza n monedas miles de veces y compara las barras de frecuencia experimental con la distribución de probabilidad teórica, calculando la esperanza y la varianza. Matemática financiera: compara el interés simple con el interés compuesto A = P(1+r)^n y calcula la cuota mensual de un préstamo amortizable. Problema de optimización: arrastra el tamaño de los cuadrados que se recortan en las cuatro esquinas de una lámina de cartón para plegar una caja sin tapa, observa la gráfica del volumen V(x) = x(a−2x)² y halla el máximo mediante derivadas.

Lección: Variables aleatorias discretas y sus parámetros; aplicaciones de las matemáticas a las finanzas; optimización con derivadas

Qué muestra

Tres temas comparten una página. El número de caras X al lanzar n monedas equilibradas es una variable aleatoria discreta con P(X = k) = C(n; k)/2ⁿ, esperanza n/2 y varianza n/4; miles de lanzamientos simulados acercan las frecuencias experimentales a esta distribución, como predice la ley de los grandes números. En finanzas, el interés simple crece de forma lineal, A = P(1 + r·n), y el compuesto de forma exponencial, A = P(1 + r)ⁿ; el mismo modelo fija la cuota mensual constante de un préstamo. En optimización, recortar cuadrados de lado x de una lámina de lado a da una caja de volumen V(x) = x(a − 2x)², máximo en x = a/6.

Cómo usarla

Elige el Tema actual. Con las monedas, fija Número de monedas en cada lanzamiento, pulsa Lanzar 200 veces o Lanzar sin parar y compara las barras rojas con el contorno teórico y la media experimental con E(X). En finanzas, cambia Tasa de interés nominal anual y Número de años del depósito o del préstamo, alternando entre Ver cuenta de ahorro y Ver préstamo. Con la caja, arrastra sobre el cartón para cambiar x, observa V(x) y pulsa Poner x = a/6 para comprobar el máximo.

Parámetros que puedes cambiar

  • Tema actual 1. Variable aleatoria discreta, 2. Matemática financiera, 3. Problema de optimización
  • Número de monedas en cada lanzamiento 1–12 monedas
  • Depósito inicial o importe del préstamo 1–500 miles de USD
  • Tasa de interés nominal anual 0,5–20 %/año
  • Número de años del depósito o del préstamo 1–30 años
  • Lado de la lámina cuadrada de cartón para plegar la caja 10–60 cm

Preguntas para explorar

  1. Al lanzar 6 monedas, ¿qué número de caras es el más probable y cuál es su probabilidad?
  2. ¿Por qué la diferencia entre el interés compuesto y el simple no deja de crecer con el tiempo?
  3. ¿Para qué valores de x se puede construir la caja y por qué V(x) = 0 en los extremos de ese intervalo?

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