المتتاليات من الأنماط – جداول الفروق والحد العام والعلاقات التكرارية

ماذا تعرض

يمكن وصف المتتالية بقاعدة تعطي الحد من رتبته (الحد العام uₙ) أو بقاعدة تعطي الحد من الحد السابق (علاقة تكرارية). وتجد طريقة الفروق الحد العام: الفروق الأولى الثابتة تعني متتالية خطية an + b، والفروق الثانية الثابتة k تعني متتالية تربيعية معامل n² فيها k/2، والفروق الثالثة الثابتة k تعني متتالية تكعيبية معامل n³ فيها k/6. ولا تصل المتتاليات الهندسية ومتتاليات فيبوناتشي إلى فروق ثابتة أبدًا. وتكرر الشاشة الثانية تطبيق uₙ₊₁ = f(uₙ)، وتعرض السلوك على مخطط بيت العنكبوت، وتجمع الحدود برمز المجموع. بضعة حدود لا تثبت نمطًا أبدًا؛ لذا تشترط المحاكاة فرقين متساويين.

طريقة الاستخدام

اختر «النمط» واضغط «إضافة النمط التالي» لتنميته؛ تظهر القطع الجديدة باللون البرتقالي. اقرأ جدول الفروق، أو ألغِ تحديد «إظهار الفروق والحد العام» واحسبها بنفسك أولًا. اكتب المعاملات في «قاعدتك» لتختبر صيغة، وأدخل عددًا في «هل هذا حد؟» لتتحقق منه. وفي «التكرار والمجاميع» اختر «العلاقة التكرارية»، وحرّك المنزلقات a وb وu₁ وN، وراقب مخطط بيت العنكبوت.

المعاملات القابلة للتغيير

• الشاشة الأنماط والحد العام, العلاقات التكرارية والمجاميع
• النمط مربعات أعواد الثقاب, مثلثات أعواد الثقاب, درج من البلاطات, شبكة n × n من أعواد الثقاب, مكعب n × n × n, مثلث سيربينسكي, مربعات فيبوناتشي, متتاليتك الخاصة
• عدد الأنماط (الحدود) 4–8 أنماط
• متتاليتك الخاصة (أعداد مفصولة بفواصل)
• إظهار الفروق والحد العام
• العلاقة التكرارية uₙ₊₁ = a·uₙ + b, uₙ₊₁ = 1 − 1/uₙ (دورية), uₙ₊₂ = uₙ₊₁ + uₙ (من نوع فيبوناتشي)
• المعامل a في uₙ₊₁ = a·uₙ + b -2–2
• الثابت b في uₙ₊₁ = a·uₙ + b -10–10
• الحد الأول u₁ -10–20
• الحد الثاني u₂ (من نوع فيبوناتشي) -10–20
• عدد الحدود المجموعة N 1–20 حدود

أسئلة للاستكشاف

1. كم عود ثقاب يلزم لصف من 50 مربعًا؟ وهل يمكن تكوين نمط كامل من 100 عود ثقاب تمامًا؟
2. لماذا تكون الفروق الثانية لنمط الدرج ثابتة، وماذا يخبرك ذلك عن حده العام؟
3. لأي قيم a تتقارب المتتالية uₙ₊₁ = a·uₙ + b، وما نهايتها؟