Mathématiques appliquées – variables aléatoires, mathématiques financières, optimisation
MathématiquesSuites et mathématiques financières17–18 ans
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Connectez-vous pour lancerTrois thèmes d'approfondissement en mathématiques dans une seule simulation, choisis avec le paramètre de thème. Variable aléatoire discrète : lancez n pièces des milliers de fois et comparez les barres des fréquences observées avec la loi de probabilité théorique, en calculant l'espérance et la variance. Mathématiques financières : comparez les intérêts simples et les intérêts composés A = P(1+r)^n et calculez la mensualité d'un prêt à remboursements constants. Problème d'optimisation : faites varier la taille des carrés découpés aux quatre coins d'une feuille de carton pour plier une boîte sans couvercle, observez la courbe du volume V(x) = x(a−2x)² et trouvez le maximum à l'aide de la dérivée.
Leçon : Variables aléatoires discrètes et leurs paramètres ; applications des mathématiques à la finance ; utiliser la dérivée pour optimiser
Ce qu’elle montre
Trois thèmes partagent une même page. Le nombre de faces X obtenues en lançant n pièces équilibrées est une variable aléatoire discrète avec P(X = k) = C(n ; k)/2ⁿ, d'espérance n/2 et de variance n/4 ; des milliers de lancers simulés rapprochent les fréquences observées de cette loi, comme le prévoit la loi des grands nombres. En finance, les intérêts simples croissent linéairement, A = P(1 + r·n), les intérêts composés exponentiellement, A = P(1 + r)ⁿ, et le même modèle fixe la mensualité constante d'un emprunt. En optimisation, découper des carrés de côté x dans une plaque de côté a donne une boîte de volume V(x) = x(a − 2x)², maximal pour x = a/6.
Mode d’emploi
Choisissez le Thème affiché. Pour les pièces, réglez Nombre de pièces lancées à chaque fois, cliquez sur Lancer 200 fois ou Lancer en continu, puis comparez les barres rouges au contour théorique et la moyenne observée à E(X). Pour la finance, modifiez Taux d'intérêt annuel nominal et Durée du placement ou de l'emprunt en alternant entre Voir le placement et Voir l'emprunt. Pour la boîte, faites glisser sur le carton pour changer x, observez V(x), puis cliquez sur Prendre x = a/6 pour vérifier le maximum.
Paramètres modifiables
- Thème affiché 1. Variable aléatoire discrète, 2. Mathématiques financières, 3. Problème d'optimisation
- Nombre de pièces lancées à chaque fois 1–12 pièces
- Capital placé ou emprunté 1–500 milliers d'USD
- Taux d'intérêt annuel nominal 0,5–20 %/an
- Durée du placement ou de l'emprunt 1–30 ans
- Côté du carton carré à plier en boîte 10–60 cm
Questions à explorer
- Avec 6 pièces, quel nombre de faces est le plus probable, et quelle est sa probabilité ?
- Pourquoi l'écart entre intérêts composés et intérêts simples ne cesse-t-il de croître avec le temps ?
- Pour quelles valeurs de x peut-on fabriquer la boîte, et pourquoi V(x) = 0 aux deux bornes de cet intervalle ?
