المتسلسلة الهندسية اللانهائية – مجاميع جزئية تقترب من المجموع اللانهائي

ماذا تعرض

تجمع المتسلسلة الهندسية حدودًا كل منها يساوي q مرة الحد السابق، ومجموعها الجزئي Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q). عندما |q| < 1 يتناقص العامل qⁿ نحو 0، فتقترب المجاميع الجزئية من قيمة ثابتة هي المجموع اللانهائي S = u₁/(1 − q). وهذا يحل مفارقة زينون: يمكن لعدد لا نهائي من الخطوات المتناقصة أن يقطع مسافة محدودة. وعندما |q| ≥ 1 لا تتناقص الحدود، فتنمو المجاميع الجزئية بلا حدود أو تتذبذب، وتكون المتسلسلة متباعدة. تضيف المحاكاة 30 حدًا على الأكثر، لذا تظهر النهاية على شكل اتجاه.

طريقة الاستخدام

اضبط «الحد الأول u₁» و«النسبة المشتركة q» بالمنزلقين، ثم اضغط «تشغيل» لتشاهد القفزات على خط الأعداد، أو «أضف حدًا» لتتقدم خطوة واحدة في كل مرة. استعمل أزرار «قيم جاهزة:» لتقارن q = 1/2 و −1/2 و 9/10 بالحالات المتباعدة q = 1 و −1 و 6/5. اقرأ الفرق |S − Sₙ| في الجدول وعدد الحدود اللازم لتصبح Sₙ على بعد أقل من 0.001 من S.

المعاملات القابلة للتغيير

• الحد الأول u₁ 0.1–4
• النسبة المشتركة q -1.5–1.5
• أكبر عدد من الحدود 5–30
• إظهار جدول البيانات

أسئلة للاستكشاف

1. عندما u₁ = 1 و q = 1/2، بعد كم حدًا تصبح Sₙ على بعد أقل من 0.001 من 2؟
2. لماذا تكون Sₙ أحيانًا أكبر من S وأحيانًا أصغر منها عندما تكون q سالبة؟
3. هل يمكن استعمال القانون S = u₁/(1 − q) عندما q = 6/5؟ ولماذا؟