Serie geométrica infinita – sumas parciales que se acercan a la suma infinita
MatemáticasSucesiones y matemática financieraEdades 16–17
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Inicia sesión para usarSuma los términos uₙ = u₁·qⁿ⁻¹ como saltos sobre una recta numérica (paradoja de Zenón) y observa la gráfica de las sumas parciales Sₙ. Si |q| < 1, Sₙ se acerca a S = u₁/(1 − q); si |q| ≥ 1, las sumas parciales divergen. Cambia la razón q y el primer término u₁, y lee la diferencia |S − Sₙ| y cuántos términos hacen falta para reducirla.
Lección: Suma de una serie geométrica infinita
Qué muestra
Una serie geométrica suma términos en los que cada uno es q veces el anterior, y su suma parcial es Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Si |q| < 1, el factor qⁿ tiende a 0, así que las sumas parciales se acercan a un valor fijo, la suma infinita S = u₁/(1 − q). Esto resuelve la paradoja de Zenón: infinitos pasos cada vez más cortos pueden cubrir una distancia finita. Si |q| ≥ 1, los términos no se reducen y la serie diverge. La simulación suma como máximo 30 términos, así que el límite se ve como una tendencia.
Cómo usarla
Ajusta Primer término u₁ y Razón q con los deslizadores y pulsa Reproducir para ver los saltos sobre la recta numérica, o Añadir 1 término para avanzar paso a paso. Usa los botones de Valores rápidos para comparar q = 1/2, −1/2 y 9/10 con los casos divergentes q = 1, −1 y 6/5. Lee la diferencia |S − Sₙ| en la tabla y cuántos términos necesitas para quedar a menos de 0,001 de S.
Parámetros que puedes cambiar
- Primer término u₁ 0,1–4
- Razón q -1,5–1,5
- Número máximo de términos 5–30
- Mostrar tabla de datos
Preguntas para explorar
- ¿Con u₁ = 1 y q = 1/2, tras cuántos términos queda Sₙ a menos de 0,001 de 2?
- ¿Por qué Sₙ queda unas veces por encima y otras por debajo de S cuando q es negativa?
- ¿Se puede usar la fórmula S = u₁/(1 − q) cuando q = 6/5, y por qué?
