Série géométrique infinie – sommes partielles qui tendent vers la somme

Ce qu’elle montre

Une série géométrique additionne des termes dont chacun vaut q fois le précédent ; sa somme partielle est Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Si |q| < 1, le facteur qⁿ tend vers 0 : les sommes partielles s'approchent d'une valeur fixe, la somme S = u₁/(1 − q). C'est la réponse au paradoxe de Zénon : une infinité de pas de plus en plus courts peut couvrir une distance finie. Si |q| ≥ 1, les termes ne diminuent pas et la série diverge. La simulation additionne au plus 30 termes : la limite apparaît comme une tendance.

Mode d’emploi

Réglez Premier terme u₁ et Raison q avec les curseurs, puis cliquez sur Lancer pour voir les sauts sur la droite graduée, ou sur Ajouter 1 terme pour avancer pas à pas. Utilisez les boutons de Choix rapide pour comparer q = 1/2, −1/2 et 9/10 aux cas divergents q = 1, −1 et 6/5. Lisez l'écart |S − Sₙ| dans le tableau et le nombre de termes nécessaires pour être à moins de 0,001 de S.

Paramètres modifiables

• Premier terme u₁ 0,1–4
• Raison q -1,5–1,5
• Nombre maximal de termes 5–30
• Afficher le tableau de valeurs

Questions à explorer

1. Avec u₁ = 1 et q = 1/2, après combien de termes Sₙ est-il à moins de 0,001 de 2 ?
2. Pourquoi Sₙ est-il tantôt au-dessus, tantôt au-dessous de S quand q est négatif ?
3. Peut-on utiliser la formule S = u₁/(1 − q) quand q = 6/5, et pourquoi ?