Unendliche geometrische Reihe – Partialsummen nähern sich dem Grenzwert
MathematikFolgen und FinanzmathematikAlter 16–17
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Zum Starten anmeldenAddieren Sie die Glieder uₙ = u₁·qⁿ⁻¹ als Sprünge auf einem Zahlenstrahl (Paradoxon des Zenon) und beobachten Sie den Graphen der Partialsummen Sₙ. Für |q| < 1 nähert sich Sₙ dem Wert S = u₁/(1 − q); für |q| ≥ 1 divergieren die Partialsummen. Ändern Sie den Quotienten q und das Anfangsglied u₁ und lesen Sie den Abstand |S − Sₙ| und die Anzahl der nötigen Glieder ab.
Lektion: Summe einer unendlichen geometrischen Reihe
Was sie zeigt
Eine geometrische Reihe addiert Glieder, von denen jedes das q-Fache des vorigen ist; ihre Partialsumme ist Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Für |q| < 1 strebt der Faktor qⁿ gegen 0, daher nähern sich die Partialsummen einem festen Wert, der Summe S = u₁/(1 − q). Das löst das Paradoxon des Zenon: Unendlich viele immer kürzere Schritte können eine endliche Strecke zurücklegen. Für negatives q liegen die Partialsummen abwechselnd über und unter S. Für |q| ≥ 1 werden die Glieder nicht kleiner, und die Reihe divergiert. Die Simulation addiert höchstens 30 Glieder, der Grenzwert zeigt sich also als Trend.
So funktioniert es
Stellen Sie Anfangsglied u₁ und Quotient q mit den Schiebereglern ein und klicken Sie auf Start, um die Sprünge auf dem Zahlenstrahl zu sehen, oder auf 1 Glied addieren, um schrittweise vorzugehen. Mit den Schaltflächen unter Schnellwahl vergleichen Sie q = 1/2, −1/2 und 9/10 mit den divergenten Fällen q = 1, −1 und 6/5. Lesen Sie den Abstand |S − Sₙ| in der Tabelle ab und wie viele Glieder Sie brauchen, um weniger als 0,001 von S entfernt zu sein.
Einstellbare Parameter
- Anfangsglied u₁ 0,1–4
- Quotient q -1,5–1,5
- Höchstzahl der Glieder 5–30
- Wertetabelle anzeigen
Fragen zum Erkunden
- Nach wie vielen Gliedern liegt Sₙ für u₁ = 1 und q = 1/2 weniger als 0,001 von 2 entfernt?
- Warum liegt Sₙ bei negativem q mal über und mal unter S?
- Darf man die Formel S = u₁/(1 − q) für q = 6/5 verwenden, und warum?
