Série geométrica infinita – somas parciais que se aproximam da soma infinita
MatemáticaSequências e matemática financeiraIdades 16–17
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Entre para usarSome os termos uₙ = u₁·qⁿ⁻¹ como saltos sobre uma reta numérica (paradoxo de Zenão) e observe o gráfico das somas parciais Sₙ. Quando |q| < 1, Sₙ se aproxima de S = u₁/(1 − q); quando |q| ≥ 1, as somas parciais divergem. Mude a razão q e o primeiro termo u₁, e leia a diferença |S − Sₙ| e quantos termos são necessários para reduzi-la.
Aula: Soma de uma PG infinita
O que mostra
Uma série geométrica soma termos em que cada um é q vezes o anterior, e sua soma parcial é Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Quando |q| < 1, o fator qⁿ tende a 0, então as somas parciais se aproximam de um valor fixo, a soma infinita S = u₁/(1 − q). Isso resolve o paradoxo de Zenão: infinitos passos cada vez menores podem cobrir uma distância finita. Quando |q| ≥ 1, os termos não diminuem e a série diverge. A simulação soma no máximo 30 termos, então o limite aparece como uma tendência.
Como usar
Ajuste Primeiro termo u₁ e Razão q nos controles deslizantes e clique em Reproduzir para ver os saltos na reta numérica, ou em Adicionar 1 termo para avançar passo a passo. Use os botões de Atalhos para comparar q = 1/2, −1/2 e 9/10 com os casos divergentes q = 1, −1 e 6/5. Leia a diferença |S − Sₙ| na tabela e quantos termos você precisa para ficar a menos de 0,001 de S.
Parâmetros que você pode mudar
- Primeiro termo u₁ 0,1–4
- Razão q -1,5–1,5
- Número máximo de termos 5–30
- Mostrar tabela de dados
Perguntas para explorar
- Com u₁ = 1 e q = 1/2, depois de quantos termos Sₙ fica a menos de 0,001 de 2?
- Por que Sₙ fica ora acima, ora abaixo de S quando q é negativo?
- A fórmula S = u₁/(1 − q) pode ser usada quando q = 6/5? Por quê?
