Folgen aus Mustern – Differenzenschema, explizite und rekursive Darstellung
MathematikFolgen und FinanzmathematikAlter 16–17
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Zum Starten anmeldenLassen Sie Streichholz-, Fliesen- und Würfelmuster wachsen, tragen Sie die Glieder in eine Tabelle ein und stellen Sie sie grafisch dar. Mit ersten, zweiten und dritten Differenzen finden Sie die explizite Formel linearer (an + b), quadratischer und kubischer Folgen, prüfen, ob eine Zahl ein Folgenglied ist, und vergleichen mit geometrischen und Fibonacci-artigen Folgen. Der Bildschirm Rekursion iteriert uₙ₊₁ = f(uₙ) im Spinnwebdiagramm, zeigt steigende, fallende, konvergente und periodische Folgen und addiert die ersten N Glieder mit dem Summenzeichen.
Lektion: Folgen: explizite Formel aus Mustern, Differenzenverfahren, rekursive Darstellung, monotone und periodische Folgen, Summenzeichen
Was sie zeigt
Eine Folge lässt sich explizit (das n-te Glied uₙ als Term in n) oder rekursiv (das nächste Glied aus dem vorigen) angeben. Das Differenzenverfahren liefert die explizite Formel: Konstante erste Differenzen ergeben eine lineare Folge an + b, konstante zweite Differenzen k eine quadratische Folge mit n²-Koeffizient k/2, konstante dritte Differenzen k eine kubische Folge mit n³-Koeffizient k/6. Geometrische und Fibonacci-artige Folgen erreichen nie konstante Differenzen. Der zweite Bildschirm iteriert uₙ₊₁ = f(uₙ), zeigt das Verhalten im Spinnwebdiagramm und addiert Glieder mit dem Summenzeichen. Wenige Glieder beweisen kein Muster; die Simulation braucht zwei gleiche Differenzen.
So funktioniert es
Wählen Sie ein Muster und drücken Sie Nächstes Muster, um es wachsen zu lassen; neue Teile werden orange. Lesen Sie das Differenzenschema ab oder entfernen Sie den Haken bei Differenzen und Formel zeigen und rechnen Sie zuerst selbst. Geben Sie Koeffizienten bei Ihre Formel ein, um eine Formel zu testen, und eine Zahl bei Ist das ein Folgenglied? Unter Rekursion und Summen wählen Sie eine Rekursion und bewegen die Regler a, b, u₁ und N.
Einstellbare Parameter
- Bildschirm Muster und explizite Formel, Rekursion und Summen
- Muster Quadrate aus Streichhölzern, Dreiecke aus Streichhölzern, Treppe aus Fliesen, Streichholzgitter n × n, Würfel n × n × n, Sierpiński-Dreieck, Fibonacci-Quadrate, Eigene Folge
- Anzahl der Muster (Glieder) 4–8 Muster
- Eigene Folge (Zahlen durch Kommas getrennt)
- Differenzen und explizite Formel zeigen
- Rekursionsformel uₙ₊₁ = a·uₙ + b, uₙ₊₁ = 1 − 1/uₙ (periodisch), uₙ₊₂ = uₙ₊₁ + uₙ (Fibonacci-artig)
- Koeffizient a in uₙ₊₁ = a·uₙ + b -2–2
- Konstante b in uₙ₊₁ = a·uₙ + b -10–10
- Erstes Glied u₁ -10–20
- Zweites Glied u₂ (Fibonacci-artig) -10–20
- Anzahl der summierten Glieder N 1–20 Glieder
Fragen zum Erkunden
- Wie viele Streichhölzer braucht man für 50 Quadrate in einer Reihe, und ergeben genau 100 Streichhölzer ein vollständiges Muster?
- Warum sind beim Treppenmuster die zweiten Differenzen konstant, und was folgt daraus für die explizite Formel?
- Für welche Werte von a konvergiert uₙ₊₁ = a·uₙ + b, und welchen Grenzwert hat die Folge?
