Sequências a partir de padrões – tabela de diferenças, termo geral e recorrências
MatemáticaSequências e matemática financeiraIdades 16–17
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Entre para usarFaça crescer padrões de palitos, ladrilhos e cubos, registre os termos em uma tabela e faça o gráfico. Use as diferenças primeiras, segundas e terceiras para achar o termo geral de sequências lineares (an + b), quadráticas e cúbicas, verifique se um número é termo da sequência e compare com sequências geométricas e do tipo Fibonacci. A tela Recorrência itera uₙ₊₁ = f(uₙ) em um diagrama de teia de aranha para mostrar sequências crescentes, decrescentes, convergentes e periódicas, e soma os N primeiros termos com a notação sigma.
Aula: Sequências: termo geral a partir de padrões, método das diferenças, relações de recorrência, sequências crescentes, decrescentes e periódicas, notação sigma
O que mostra
Uma sequência pode ser descrita por uma regra de posição para termo (o termo geral uₙ) ou por uma regra de termo para termo (uma relação de recorrência). O método das diferenças encontra o termo geral: diferenças primeiras constantes dão uma sequência linear an + b, diferenças segundas constantes k dão uma quadrática com coeficiente de n² igual a k/2, e diferenças terceiras constantes k uma cúbica com coeficiente de n³ igual a k/6. Sequências geométricas e do tipo Fibonacci nunca chegam a diferenças constantes. A segunda tela itera uₙ₊₁ = f(uₙ), mostra o comportamento em um diagrama de teia de aranha e soma termos com a notação sigma.
Como usar
Escolha um Padrão e aperte Próximo padrão para fazê-lo crescer; as peças novas ficam laranja. Leia a tabela de diferenças, ou desmarque Mostrar diferenças e termo geral e calcule antes. Digite coeficientes em Sua regra para testar uma fórmula e um número em É um termo? para verificá-lo. Em Recorrência e somas, escolha uma Recorrência, mova os controles a, b, u₁ e N e observe o diagrama de teia de aranha.
Parâmetros que você pode mudar
- Tela Padrões e termo geral, Recorrências e somas
- Padrão Quadrados de palitos, Triângulos de palitos, Escada de ladrilhos, Malha de palitos n × n, Cubo n × n × n, Triângulo de Sierpiński, Quadrados de Fibonacci, Sua própria sequência
- Número de padrões (termos) 4–8 padrões
- Sua própria sequência (números separados por vírgulas)
- Mostrar as diferenças e o termo geral
- Relação de recorrência uₙ₊₁ = a·uₙ + b, uₙ₊₁ = 1 − 1/uₙ (periódica), uₙ₊₂ = uₙ₊₁ + uₙ (tipo Fibonacci)
- Coeficiente a em uₙ₊₁ = a·uₙ + b -2–2
- Constante b em uₙ₊₁ = a·uₙ + b -10–10
- Primeiro termo u₁ -10–20
- Segundo termo u₂ (tipo Fibonacci) -10–20
- Número de termos somados N 1–20 termos
Perguntas para explorar
- Quantos palitos são necessários para 50 quadrados em fila, e exatamente 100 palitos formam um padrão completo?
- Por que as diferenças segundas do padrão da escada são constantes, e o que isso diz sobre o termo geral?
- Para quais valores de a a sequência uₙ₊₁ = a·uₙ + b converge, e qual é o limite?
