Sucesiones a partir de patrones – tabla de diferencias, término general y recurrencias
MatemáticasSucesiones y matemática financieraEdades 16–17
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Inicia sesión para usarHaz crecer patrones de cerillas, baldosas y cubos, anota los términos en una tabla y represéntalos. Usa las diferencias primeras, segundas y terceras para hallar el término general de sucesiones lineales (an + b), cuadráticas y cúbicas, comprueba si un número es un término y compara con sucesiones geométricas y de tipo Fibonacci. La pantalla Recurrencia itera uₙ₊₁ = f(uₙ) en un diagrama de telaraña para mostrar sucesiones crecientes, decrecientes, convergentes y periódicas, y suma los N primeros términos con notación sigma.
Lección: Sucesiones: término general a partir de patrones, método de las diferencias, relaciones de recurrencia, sucesiones crecientes, decrecientes y periódicas, notación sigma
Qué muestra
Una sucesión puede describirse con una regla de posición a término (el término general uₙ) o con una regla de término a término (una relación de recurrencia). El método de las diferencias halla el término general: diferencias primeras constantes dan una sucesión lineal an + b, diferencias segundas constantes k dan una cuadrática con coeficiente de n² igual a k/2, y diferencias terceras constantes k una cúbica con coeficiente de n³ igual a k/6. Las sucesiones geométricas y de tipo Fibonacci nunca llegan a diferencias constantes. La segunda pantalla itera uₙ₊₁ = f(uₙ), muestra su comportamiento en un diagrama de telaraña y suma términos con notación sigma.
Cómo usarla
Elige un Patrón y pulsa Añadir patrón para hacerlo crecer; las piezas nuevas se ven naranjas. Lee la tabla de diferencias, o desmarca Mostrar diferencias y término general y calcúlalas antes. Escribe coeficientes en Tu regla para probar una fórmula y un número en ¿Es un término? para comprobarlo. En Recurrencia y sumas, elige una Recurrencia, mueve los deslizadores a, b, u₁ y N y observa el diagrama de telaraña.
Parámetros que puedes cambiar
- Pantalla Patrones y término general, Recurrencias y sumas
- Patrón Cuadrados de cerillas, Triángulos de cerillas, Escalera de baldosas, Cuadrícula de cerillas n × n, Cubo n × n × n, Triángulo de Sierpiński, Cuadrados de Fibonacci, Tu propia sucesión
- Número de patrones (términos) 4–8 patrones
- Tu propia sucesión (números separados por comas)
- Mostrar las diferencias y el término general
- Relación de recurrencia uₙ₊₁ = a·uₙ + b, uₙ₊₁ = 1 − 1/uₙ (periódica), uₙ₊₂ = uₙ₊₁ + uₙ (tipo Fibonacci)
- Coeficiente a en uₙ₊₁ = a·uₙ + b -2–2
- Constante b en uₙ₊₁ = a·uₙ + b -10–10
- Primer término u₁ -10–20
- Segundo término u₂ (tipo Fibonacci) -10–20
- Número de términos sumados N 1–20 términos
Preguntas para explorar
- ¿Cuántas cerillas hacen falta para 50 cuadrados en fila, y se puede formar un patrón completo con exactamente 100 cerillas?
- ¿Por qué son constantes las diferencias segundas del patrón de la escalera y qué te dice eso de su término general?
- ¿Para qué valores de a converge uₙ₊₁ = a·uₙ + b y cuál es su límite?
