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Suites et motifs – tableau des différences, terme général et relation de récurrence

MathématiquesSuites et mathématiques financières16–17 ans

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Faites grandir des motifs d'allumettes, de carreaux et de cubes, notez les termes dans un tableau et représentez-les. Utilisez les différences premières, secondes et troisièmes pour trouver le terme général de suites linéaires (an + b), quadratiques et cubiques, vérifiez si un nombre est un terme et comparez avec des suites géométriques et de type Fibonacci. L'écran Récurrence itère uₙ₊₁ = f(uₙ) sur un diagramme en toile d'araignée pour montrer des suites croissantes, décroissantes, convergentes et périodiques, et additionne les N premiers termes avec le symbole Σ.

Leçon : Suites : terme général à partir de motifs, méthode des différences, relations de récurrence, suites croissantes, décroissantes et périodiques, symbole Σ

Ce qu’elle montre

Une suite peut être définie de façon explicite (le terme général uₙ en fonction de n) ou par récurrence (chaque terme à partir du précédent). La méthode des différences donne le terme général : des différences premières constantes donnent une suite affine an + b, des différences secondes constantes égales à k une suite quadratique de coefficient k/2 devant n², et des différences troisièmes constantes égales à k une suite cubique de coefficient k/6 devant n³. Les suites géométriques et de type Fibonacci n'atteignent jamais des différences constantes. Le second écran itère uₙ₊₁ = f(uₙ), montre son comportement sur une toile d'araignée et additionne des termes avec le symbole Σ.

Mode d’emploi

Choisissez un Motif et appuyez sur Motif suivant pour le faire grandir ; les nouvelles pièces sont orange. Lisez le tableau des différences, ou décochez Afficher différences et terme général pour les calculer d'abord. Tapez des coefficients dans Votre formule pour tester une formule, et un nombre dans Est-ce un terme ? pour le vérifier. Sur Récurrence et sommes, choisissez une Récurrence et déplacez les curseurs a, b, u₁ et N.

Paramètres modifiables

  • Écran Motifs et terme général, Récurrences et sommes
  • Motif Carrés d'allumettes, Triangles d'allumettes, Escalier de carreaux, Quadrillage d'allumettes n × n, Cube n × n × n, Triangle de Sierpiński, Carrés de Fibonacci, Votre propre suite
  • Nombre de motifs (termes) 4–8 motifs
  • Votre propre suite (nombres séparés par des virgules)
  • Afficher les différences et le terme général
  • Relation de récurrence uₙ₊₁ = a·uₙ + b, uₙ₊₁ = 1 − 1/uₙ (périodique), uₙ₊₂ = uₙ₊₁ + uₙ (type Fibonacci)
  • Coefficient a dans uₙ₊₁ = a·uₙ + b -2–2
  • Constante b dans uₙ₊₁ = a·uₙ + b -10–10
  • Premier terme u₁ -10–20
  • Deuxième terme u₂ (type Fibonacci) -10–20
  • Nombre de termes additionnés N 1–20 termes

Questions à explorer

  1. Combien d'allumettes faut-il pour 50 carrés alignés, et peut-on former un motif complet avec exactement 100 allumettes ?
  2. Pourquoi les différences secondes du motif en escalier sont-elles constantes, et qu'en déduisez-vous sur son terme général ?
  3. Pour quelles valeurs de a la suite uₙ₊₁ = a·uₙ + b converge-t-elle, et quelle est sa limite ?

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