Kegelschnitte – Reflexionseigenschaft (Parabolantenne, Flüstergewölbe, Teleskop)
MathematikVektoren und analytische GeometrieAlter 15–16
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Als Nächstes in Vektoren und analytische Geometrie
Lichtstrahlen treffen auf einen Spiegel in Form eines Kegelschnitts, und Sie sehen, wohin sie nach der Reflexion laufen: Achsenparallele Strahlen am Parabolspiegel treffen sich alle im Brennpunkt (Parabolantenne, Scheinwerfer); Strahlen aus einem Brennpunkt einer Ellipse gehen durch den anderen Brennpunkt (Nierensteinzertrümmerer, Flüstergewölbe); Strahlen, die auf einen Brennpunkt einer Hyperbel zielen, werden zum anderen Brennpunkt reflektiert (Cassegrain-Teleskop).
Lektion: Kegelschnitte und ihre Anwendungen
Was sie zeigt
Jeder Kegelschnitt hat eine Reflexionseigenschaft, die an seine Brennpunkte gebunden ist und aus dem Reflexionsgesetz folgt: Der reflektierte Strahl bildet mit dem Lot denselben Winkel wie der einfallende Strahl. Alle Strahlen parallel zur Achse einer Parabel werden durch den Brennpunkt reflektiert, sodass ein dort angebrachter Empfänger das gesamte Signal aufnimmt. Bei einer Ellipse wird ein Strahl aus einem Brennpunkt durch den anderen reflektiert; wegen MF₁ + MF₂ = 2a sind alle Wege gleich lang, und die Wellen kommen gleichzeitig an. Bei einer Hyperbel wird ein auf einen Brennpunkt gerichteter Strahl zum anderen reflektiert: Das ist das Prinzip des Fangspiegels im Cassegrain-Teleskop.
So funktioniert es
Wählen Sie den Kegelschnitt, stellen Sie die Anzahl der Strahlen ein und verfolgen Sie den orangefarbenen Strahl mit seinem violetten Lot. Bewegen Sie den Regler Schüsseltiefe bzw. Exzentrizität, um zu zeigen, dass die Eigenschaft für jede Form gilt. Bewegen Sie danach den Versatzregler (Fehlausrichtung, Abstand der Quelle von F₁ oder Zielabweichung) und lesen Sie die mittlere Abweichung ab: Die reflektierten Strahlen treffen sich nicht mehr im Brennpunkt. Das erklärt, warum Schüsseln, Lithotripter und Teleskope genau ausgerichtet werden müssen.
Einstellbare Parameter
- Kegelschnitt Parabel – Parabolantenne, Ellipse – Lithotripter, Hyperbel – Cassegrain-Teleskop
- Form (p der Parabel / Exzentrizität e) 0,2–0,95
- Anzahl der Strahlen 3–21
Fragen zum Erkunden
- Wie sieht das reflektierte Lichtbündel aus, wenn eine Lampe im Brennpunkt eines Parabolspiegels steht?
- Warum setzt ein Lithotripter die Stoßwellenquelle in einen Brennpunkt der Ellipse und den Nierenstein in den anderen?
- Laufen die reflektierten Strahlen noch durch den Brennpunkt, wenn sich die Exzentrizität ändert? Was folgt daraus?
