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Kegelschnitte und numerische Exzentrizität

MathematikVektoren und analytische GeometrieAlter 15–16

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Bei gleichem Brennpunkt und gleicher Leitlinie ändert sich nur die Exzentrizität e: e < 1 ergibt eine Ellipse, e = 1 eine Parabel, e > 1 eine Hyperbel. Die Simulation zeichnet den Kegelschnitt, markiert Brennpunkt und Achse und lässt Sie die Eigenschaft MF = e·d(M, Δ) an einem Punkt M prüfen, den Sie entlang der Kurve ziehen können.

Lektion: Kegelschnitte

Was sie zeigt

Ellipse, Parabel und Hyperbel gehören zu einer Familie. Jede ist die Menge der Punkte M, deren Abstand zu einem festen Brennpunkt F das e-Fache des Abstands zu einer festen Geraden, der Leitlinie Δ, beträgt: MF = e·d(M, Δ). In Polarform um den Brennpunkt gilt r = p/(1 + e·cos θ), wobei p der Halbparameter ist. Für e < 1 schließt sich die Kurve zu einer Ellipse, die umso runder wird, je näher e an 0 liegt; bei e = 1 öffnet sie sich zur Parabel; für e > 1 zerfällt sie in die zwei Äste einer Hyperbel. Eine Änderung von p skaliert die Kurve nur, ohne ihre Form zu ändern.

So funktioniert es

Beginnen Sie mit den drei Vorgabe-Schaltflächen e = 0,6 (Ellipse), e = 1 (Parabel) und e = 1,6 (Hyperbel) und ziehen Sie dann Exzentrizität e langsam über 1 hinaus: Die Ellipse streckt sich, öffnet sich und zerfällt in zwei Äste. Lassen Sie die Prüfung eingeschaltet und ziehen Sie den Punkt M entlang der Kurve: Die Werte MF und e·d bleiben gleich. Verändern Sie zum Schluss den Halbparameter p, um zu zeigen, dass sich die Größe ändert, die Form aber nicht.

Einstellbare Parameter

  • Exzentrizität e 0,1–2,5
  • Halbparameter p 1–8
  • Prüfung zeigen: MF = e·d(M, Δ)

Fragen zum Erkunden

  1. Welche Kurve beschreibt die Gleichung MF = d(M, Δ) bei e = 1, und warum schließt sie sich nicht?
  2. Welcher Figur nähert sich die Ellipse, wenn e gegen 0 geht?
  3. Warum ändert eine Änderung von p die Größe des Kegelschnitts, aber nicht seine Form?

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