Geraden und Kreise im Koordinatensystem
MathematikVektoren und analytische GeometrieAlter 15–16
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Als Nächstes in Vektoren und analytische Geometrie
Die Gerade Δ: ax + by + c = 0 hat den Normalenvektor n = (a; b) und den Richtungsvektor u = (−b; a), beide direkt in der Figur eingezeichnet; der Kreis (C) hat den Mittelpunkt I und den Radius R. Ziehen Sie den Mittelpunkt I, den freien Punkt M oder die ganze Gerade: Die Abstände d(I, Δ) und d(M, Δ) werden mit |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²) berechnet, und die Lage von Δ und (C) (Sekante, Tangente oder Passante) samt Schnittpunkten, der Winkel zwischen Δ und der x-Achse sowie der Winkel zwischen Δ und IM werden sofort aktualisiert. Die Ansicht Zwei Punkte liefert Mittelpunkt, Abstand AB über ein Steigungsdreieck, Steigung, Gleichung von AB, Steigungen von Senkrechten, Mittelsenkrechte, den Teilpunkt von AB in einem Verhältnis sowie Parallele und Senkrechte zu AB durch einen Punkt; die Ansicht Vieleck berechnet Umfang und Fläche mit der Gaußschen Trapezformel aus den Eckkoordinaten. Die Ansicht Geradengleichungen schreibt die Gerade d₁ durch A(x₀ | y₀) mit Richtungsvektor u = (u₁ | u₂) gleichzeitig in Vektorform, als Parametergleichungen, in symmetrischer, allgemeiner und Hauptform, während Sie A und u ziehen; ein Punkt P = A + t·u läuft mit t auf d₁, und eine zweite Gerade d₂ zeigt die gegenseitige Lage (schneidend mit Schnittwinkel, parallel oder identisch) aus den Richtungsvektoren und der Lösung des Gleichungssystems.
Lektion: Geradengleichung, Abstand und Winkel, Kreisgleichung
Was sie zeigt
Eine Gerade Δ: ax + by + c = 0 hat den Normalenvektor n = (a; b) und den Richtungsvektor u = (−b; a). Der Vergleich des Abstands des Mittelpunkts I von Δ mit dem Radius R zeigt, ob die Gerade den Kreis schneidet, berührt oder verfehlt. Die Ansicht Zwei Punkte erarbeitet die Grundlagen aus A und B: Mittelpunkt, Abstand mit Pythagoras, Steigung m = Δy/Δx, die Formen y = mx + b und ax + by + c = 0, senkrechte Geraden mit m₁ · m₂ = −1, Mittelsenkrechte und Teilung von AB in einem Verhältnis. Die Ansicht Vieleck liefert Umfang und Fläche mit der Trapezformel. Die Ansicht Geradengleichungen verbindet Vektorform, Parametergleichungen, symmetrische, allgemeine und Hauptform derselben Geraden und bestimmt die gegenseitige Lage zweier Geraden aus ihren Richtungsvektoren.
So funktioniert es
Geben Sie unter Gerade und Kreis Koeffizient a, Koeffizient b und Koeffizient c ein, legen Sie Mittelpunkt I und Radius R fest und ziehen Sie die Gerade Δ, bis d(I, Δ) gleich R ist. Ziehen Sie unter Zwei Punkte A und B und aktivieren Sie Steigungsdreieck (Δx, Δy), Mittelsenkrechte, Teilpunkt P auf AB oder Geraden durch C; die Regler AP : PB verschieben P. Ziehen Sie unter Vieleck die Ecken, nutzen Sie Ecke hinzufügen oder Ecke entfernen und verfolgen Sie die Tabelle. In Geradengleichungen ziehen Sie A und die Spitze von u, verstellen Parameter t oder klicken auf Start und aktivieren Zweite Gerade d₂, um zwei Geraden zu vergleichen; probieren Sie die Aufgaben.
Einstellbare Parameter
- Koeffizient a (von x) -6–6
- Koeffizient b (von y) -6–6
- Koeffizient c -20–20
- Mittelpunkt I: x-Koordinate -6–6
- Mittelpunkt I: y-Koordinate -6–6
- Radius R 0,5–6
- Ansicht Gerade und Kreis, Zwei Punkte, Vieleck, Formen der Geradengleichung
- Punkt A: x-Koordinate -7–7
- Punkt A: y-Koordinate -7–7
- Punkt B: x-Koordinate -7–7
- Punkt B: y-Koordinate -7–7
- Verhältnis AP : PB, Teil p 1–9
- Verhältnis AP : PB, Teil q 1–9
- d₁: Punkt A, x-Koordinate x₀ -7–7
- d₁: Punkt A, y-Koordinate y₀ -7–7
- d₁: Richtungsvektor, u₁ -6–6
- d₁: Richtungsvektor, u₂ -6–6
- Parameter t -4–4
- Zweite Gerade d₂ zeigen
- d₂: Punkt B, x-Koordinate -7–7
- d₂: Punkt B, y-Koordinate -7–7
- d₂: Richtungsvektor, v₁ -6–6
- d₂: Richtungsvektor, v₂ -6–6
Fragen zum Erkunden
- Ändern sich die Gerade und der Abstand d(I, Δ), wenn a, b und c mit 2 multipliziert werden? Warum?
- Für welche Werte von Koeffizient c ist Δ Tangente an den gezeigten Kreis (C)?
- Warum stehen die Vektoren n = (a; b) und u = (−b; a) immer senkrecht aufeinander?
