Ebenen und Kugeln im Raum – Abstand vom Mittelpunkt zur Ebene
MathematikVektoren und analytische GeometrieAlter 17–18
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Als Nächstes in Vektoren und analytische Geometrie
In einem drehbaren Oxyz-Koordinatensystem werden die Ebene (P): Ax + By + Cz + D = 0 und eine Kugel mit Mittelpunkt I und Radius R zusammen mit dem Normalenvektor n = (A; B; C) und dem Lot IH gezeichnet. Die Simulation berechnet d(I, (P)) mit der Abstandsformel und vergleicht ihn mit R, um zu zeigen, ob die Ebene die Kugel in einem Kreis schneidet (Schnittkreis mit Radius r = √(R² − d²) wird gezeichnet), sie berührt oder an ihr vorbeigeht. Über den Schalter 2D | 3D öffnet sich eine echte 3D-Ansicht (three.js) mit durchsichtiger Kugel, Ebene (P), Strecke IH und Schnittkreis (oder Berührpunkt), die Sie drehen und zoomen können.
Lektion: Ebenengleichung, Kugelgleichung, Abstand eines Punktes von einer Ebene
Was sie zeigt
Im räumlichen Koordinatensystem hat die Ebene Ax + By + Cz + D = 0 den Normalenvektor n = (A; B; C), und der Abstand eines Punktes I(x₀; y₀; z₀) von ihr beträgt d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|/√(A² + B² + C²). Der Vergleich von d mit dem Radius R einer Kugel um I ergibt die Lage: Ist d < R, schneidet die Ebene die Kugel in einem Kreis um H, den Lotfußpunkt von I, mit Radius √(R² − d²); ist d = R, berührt sie die Kugel in H; ist d > R, haben beide keinen gemeinsamen Punkt.
So funktioniert es
Stellen Sie Koeffizient A der Ebene, Koeffizient B und Koeffizient C ein, um die Normalenrichtung festzulegen, und ändern Sie dann Koeffizient D: Die Ebene verschiebt sich parallel. Wählen Sie einen Kugelmittelpunkt I und passen Sie Radius R an. Lassen Sie die Lernenden die Lage aus d(I, (P)) im Infobereich vorhersagen, bevor sie die Zeichnung prüfen. Die Schaltfläche 3D öffnet eine drehbare Ansicht; Startansicht setzt die Kamera zurück.
Einstellbare Parameter
- Koeffizient A der Ebene -4–4
- Koeffizient B -4–4
- Koeffizient C -4–4
- Koeffizient D -8–8
- Kugelmittelpunkt I (auch mit den Reglern einstellbar) I(0; 0; 0), I(1; 1; 1), I(2; −1; 1), I(−1; 2; 2)
- Radius R 0,5–4
Fragen zum Erkunden
- Für welche Werte von D berührt die Ebene bei festem A, B und C die Kugel?
- Wann ist der Radius des Schnittkreises gleich dem Kugelradius R?
- Welche Rolle spielt der Punkt H für den Schnittkreis, und wie liegt die Strecke IH zur Ebene?
