Wurzelterme – vereinfachen, addieren, multiplizieren und Nenner rational machen

Was sie zeigt

Eine Wurzel wie √2 lässt sich nicht als Bruch schreiben. Ist n = a²b mit dem größten Quadratfaktor a², dann gilt √n = a√b: Ein Quadrat mit Flächeninhalt n besteht aus a × a Quadraten mit Flächeninhalt b, seine Seite ist also a√b. Addieren lassen sich nur gleichartige Wurzeln (dasselbe √b), wie gleichartige Terme, während √m × √r = √(mr) gilt. Um einen Nenner rational zu machen, erweitert man mit √b oder mit dem konjugierten Term a ∓ √b, denn (a + √b)(a − √b) = a² − b ist rational.

So funktioniert es

Bewegen Sie unter Vereinfache √n den Regler n oder klicken Sie auf Zufall und dann auf einen Quadratfaktor, um das Raster zu ändern; nur der größte führt in einem Schritt zum Ziel. Wählen Sie unter Rechnen mit √ eine Rechenart und stellen Sie p, m, q und r ein, beim Ausmultiplizieren a, b, c, d und e. Wählen Sie unter Nenner rational eine Form, stellen Sie k, a und b ein und nutzen Sie Nächster Schritt.

Einstellbare Parameter

• Bildschirm Vereinfache √n, Rechnen mit √, Nenner rational
• Zahl unter der Wurzel n 2–200
• Rechenart Addieren: p√m + q√r, Multiplizieren: p√m × q√r, Ausmultiplizieren (a + b√c)(d + e√c)
• Koeffizient p -6–6
• Zahl unter der Wurzel m 1–100
• Koeffizient q -6–6
• Zahl unter der Wurzel r 1–100
• Ausmultiplizieren: a -9–9
• Ausmultiplizieren: b -5–5
• Ausmultiplizieren: c 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15
• Ausmultiplizieren: d -9–9
• Ausmultiplizieren: e -5–5
• Form des Nenners k/√b, k/(a√b), k/(a + √b), k/(a − √b)
• Zähler k 1–20
• Zahl a im Nenner 1–9
• Zahl b unter der Wurzel 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23

Fragen zum Erkunden

1. Warum bleibt √72 mit dem Quadratfaktor 4 unfertig, während 36 es in einem Schritt vereinfacht?
2. Lässt sich √8 + √18 als eine einzige Wurzel schreiben, und warum geht das bei √2 + √3 nicht?
3. Warum entsteht beim Erweitern von 1/(3 + √5) mit (3 − √5) ein Nenner ohne Wurzel?