Quadratwurzeln am Zahlenstrahl – Konstruktion und Näherung
MathematikZahlen und RechnenAlter 12–13
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Als Nächstes in Zahlen und Rechnen
Konstruieren Sie √2 als Diagonale eines Einheitsquadrats, setzen Sie dann rechtwinklige Dreiecke mit Kathete 1 aneinander, um √3, √4, … √n zu erhalten (Wurzelschnecke des Theodorus), und tragen Sie die Länge mit einem Kreisbogen auf dem Zahlenstrahl ab. Darunter zeigt ein vergrößerter Zahlenstrahl jede Nachkommastelle: Ziehen Sie den Testpunkt x, um x² mit n zu vergleichen, und klicken Sie auf „Stelle mehr“, um √n immer enger einzuschachteln und zu sehen, warum √n irrational ist, wenn n keine Quadratzahl ist.
Lektion: Quadratwurzeln, irrationale Zahlen und reelle Zahlen am Zahlenstrahl
Was sie zeigt
Nach dem Satz des Pythagoras hat die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 die Länge √2. Setzt man an eine Hypotenuse der Länge √k ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Kathete der Länge 1, entsteht eine Hypotenuse der Länge √(k + 1). Durch Wiederholen entsteht die Wurzelschnecke des Theodorus, mit der sich √n für jede natürliche Zahl n konstruieren lässt. Ein Kreisbogen überträgt jede Länge auf den Zahlenstrahl. Der vergrößerte Zahlenstrahl bestimmt √n Stelle für Stelle: Eine Dezimalzahl x liegt links von √n, wenn x² < n, und rechts, wenn x² > n. Ist n keine Quadratzahl, brechen die Stellen nie ab und werden nicht periodisch: √n ist irrational.
So funktioniert es
Stellen Sie Zahl n, deren √n gesucht ist auf 2 und probieren Sie dann eine Quadratzahl wie 16. Mit Konstruktion zeigen (Wurzelschnecke) verfolgen Sie, wie der Kreisbogen die Länge auf die Achse überträgt. Ziehen Sie danach den Testpunkt x auf dem vergrößerten Zahlenstrahl und lassen Sie die Lernenden anhand von x² entscheiden, ob x links oder rechts von √n liegt. Mit Stelle mehr wird die Schachtelung enger; vergleichen Sie die Zeilen der Tabelle der Intervallschachtelung.
Einstellbare Parameter
- Zahl n, deren √n gesucht ist 2–30
- Nachkommastellen der Näherung 1–6
- Konstruktion zeigen (Wurzelschnecke)
- Tabelle der Intervallschachtelung zeigen
Fragen zum Erkunden
- Warum ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 genau √2 lang?
- Wie endet die Tabelle der Intervallschachtelung für n = 16, und warum ist n = 15 anders?
- Ist 1,41 der exakte Wert von √2? Wie zeigen das die Quadrate von 1,41 und 1,42?
