Racines carrées – simplifier, additionner, multiplier et rendre un dénominateur rationnel

Ce qu’elle montre

Une racine comme √2 ne peut pas s'écrire sous forme de fraction. Si n = a²b, avec a² le plus grand facteur carré, alors √n = a√b : un carré d'aire n est formé de a × a carrés d'aire b, donc son côté mesure a√b. On n'additionne que des racines semblables (le même √b), comme des termes semblables, tandis que √m × √r = √(mr). Pour rendre un dénominateur rationnel, on multiplie numérateur et dénominateur par √b ou par l'expression conjuguée a ∓ √b, car (a + √b)(a − √b) = a² − b est rationnel.

Mode d’emploi

Dans Simplifier √n, déplacez le curseur n ou cliquez sur Au hasard, puis cliquez sur un facteur carré pour voir la grille changer ; seul le plus grand conclut en une étape. Dans Opérations, choisissez une Opération et réglez p, m, q et r, ou a, b, c, d et e pour développer. Dans Rationaliser, choisissez une Forme, réglez k, a et b, puis utilisez Étape suivante.

Paramètres modifiables

• Écran Simplifier √n, Opérations, Rationaliser
• Nombre sous la racine n 2–200
• Opération Addition : p√m + q√r, Produit : p√m × q√r, Développer (a + b√c)(d + e√c)
• Coefficient p -6–6
• Nombre sous la racine m 1–100
• Coefficient q -6–6
• Nombre sous la racine r 1–100
• Développer : a -9–9
• Développer : b -5–5
• Développer : c 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15
• Développer : d -9–9
• Développer : e -5–5
• Forme du dénominateur k/√b, k/(a√b), k/(a + √b), k/(a − √b)
• Numérateur k 1–20
• Nombre a du dénominateur 1–9
• Nombre b sous la racine 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23

Questions à explorer

1. Pourquoi le facteur carré 4 laisse-t-il √72 inachevé, alors que 36 le simplifie en une seule étape ?
2. Peut-on écrire √8 + √18 avec une seule racine ? Pourquoi est-ce impossible pour √2 + √3 ?
3. Pourquoi multiplier 1/(3 + √5) par (3 − √5)/(3 − √5) donne-t-il un dénominateur sans racine ?