الأعداد المركبة على مخطط أرغاند – العمليات والصيغة القطبية ومبرهنة دي موافر

ماذا تعرض

العدد المركب z = a + bi، حيث i² = −1، نقطة على مخطط أرغاند أو متجه يبدأ من نقطة الأصل. مقياسه |z| هو طول هذا المتجه، وسعته arg z هي الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي، ومنهما نحصل على الصيغة القطبية r(cos θ + i sin θ) = re^(iθ). جمع الأعداد المركبة جمعٌ للمتجهات؛ أما الضرب فيضرب المقاييس ويجمع السعات، فهو دوران وتكبير معًا. وتمد مبرهنة دي موافر ذلك إلى القوى والجذور، وكثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية تأتي جذورها غير الحقيقية أزواجًا مترافقة.

طريقة الاستخدام

في «العمليات» اسحب النقطتين z وw أو حرّك منزلقات الجزأين الحقيقي والتخيلي، واختر «العملية» واضغط «▶ تحريك» لترى z تنتقل إلى الناتج. وتُظهر أزرار «ضبط w:» أثر الضرب في i أو −1 أو 2. وفي «دي موافر والجذور» اختر «القوى zⁿ» أو «الجذور النونية لـ c»، واضبط n واسحب النقطة. وفي «جذور كثيرات الحدود» حرّك a وb وc، أو اسحب الرأس، أو اضغط «▶ تغيير c».

المعاملات القابلة للتغيير

• الشاشة العمليات, دي موافر والجذور, جذور كثيرات الحدود
• الجزء الحقيقي لـ z -5–5
• الجزء التخيلي لـ z -5–5
• الجزء الحقيقي لـ w -5–5
• الجزء التخيلي لـ w -5–5
• العملية (شاشة العمليات) z + w (جمع), z − w (طرح), z · w (ضرب), z / w (قسمة), z̄ (المرافق), |z − w| ونقطة المنتصف
• وحدة الزاوية الدرجات, الراديان
• الالتصاق بشبكة 0.5 عند السحب
• الوضع (شاشة دي موافر) القوى zⁿ, الجذور النونية لـ c
• الأس أو رتبة الجذر n 1–12
• مقياس z (القوى) أو c (الجذور) 0.2–4
• سعة z أو c -180–180 °
• درجة كثيرة الحدود (شاشة الجذور) تربيعية, تكعيبية
• المعامل a -3–3
• المعامل b -6–6
• المعامل c -6–10
• المعامل d (التكعيبية) -6–6
• إظهار مسارات الجذور عند تغيّر الحد الثابت

أسئلة للاستكشاف

1. أين تنتقل نقطة إذا ضربتها في i أربع مرات متتالية؟ ولماذا؟
2. لماذا تكوّن الجذور النونية للعدد 1 دائمًا مضلعًا منتظمًا مجموع رؤوسه صفر؟
3. عند رفع القطع المكافئ y = x² − 2x + c، أي جزء من جذريه المركبين يتغير وأيهما يبقى ثابتًا؟