Polinomial satu variabel – grafik, nilai, dan akar

Yang ditunjukkan

Polinomial satu variabel adalah jumlah suku-suku aₖxᵏ; derajatnya adalah pangkat tertinggi dengan koefisien tak nol, dan akar adalah nilai x yang membuat P(x) = 0, tempat grafik menyentuh sumbu x. Polinomial berderajat d mempunyai paling banyak d akar. Membagi P(x) dengan x − a menghasilkan hasil bagi Q(x) dan sisa R dengan P(x) = (x − a)Q(x) + R. Teorema sisa menyatakan R = P(a), sehingga berlaku teorema faktor: x − a adalah faktor tepat ketika P(a) = 0. Membagi polinomial kubik dengan satu akar yang diketahui menyisakan polinomial kuadrat yang dapat difaktorkan untuk menemukan akar lainnya. Dalam bentuk faktor P(x) = a(x − r₁)^m₁…, setiap akar rᵢ adalah titik potong sumbu x: grafik memotong sumbu bila multiplisitasnya ganjil dan menyinggungnya bila genap. Suku utama axⁿ menentukan perilaku ujung grafik, dan tabel tanda dari tanda setiap faktor menyelesaikan P(x) > 0 atau P(x) ≤ 0.

Cara menggunakan

Di layar Grafik dan akar, atur Derajat dan koefisien a₃ sampai a₀, lalu seret titik x di sepanjang sumbu x untuk menghitung P(x). Di layar Pembagian, pilih pembagi x − a atau x² + px + q serta Pembagian bersusun atau Metode Horner, lalu tekan Langkah berikut untuk menyusun perhitungannya. Seret a pada grafik, atau klik kandidat yang diuji, sampai sisanya 0, lalu baca faktorisasi lengkapnya. Pada layar Bentuk faktor, geser akar di sumbu x, ketuk satu akar lalu pilih Multiplisitas, gunakan Tambah akar atau Hapus akar, atur a dan pasangan kompleks p ± qi, lalu pilih Pertidaksamaan atau Konteks kotak terbuka.

Parameter yang dapat diubah

• Derajat polinomial Derajat 1: a₁x + a₀, Derajat 2: a₂x² + a₁x + a₀, Derajat 3: a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀
• Koefisien a₃ (derajat 3) -5–5
• Koefisien a₂ -5–5
• Koefisien a₁ -10–10
• Koefisien a₀ (konstanta) -10–10
• Nilai awal x -5–5
• Layar Grafik dan akar, Pembagian, Bentuk faktor (akar dan multiplisitas)
• Metode pembagian Pembagian bersusun, Metode Horner
• Pembagi x − a, x² + px + q
• Nilai a pada pembagi x − a -5–5
• Koefisien p pada pembagi x² + px + q -5–5
• Koefisien q pada pembagi x² + px + q -5–5
• Koefisien utama a (bentuk faktor) -3–3
• Akar real (bentuk faktor), dipisah dengan ; – ulangi nilai untuk akar kembar
• Bagian real p dari pasangan kompleks p ± qi -3–3
• Bagian imajiner q dari pasangan kompleks (0 = tidak ada) 0–3
• Pertidaksamaan (bentuk faktor) P(x) > 0, P(x) ≥ 0, P(x) < 0, P(x) ≤ 0
• Konteks (bentuk faktor) Tidak ada (semua x real), Volume kotak terbuka, 0 < x < 4
• Tampilkan garis tiap faktor

Pertanyaan untuk dijelajahi

1. Mengapa x = 0 merupakan akar P(x) tepat ketika konstanta a₀ sama dengan 0?
2. Berapa banyak akar paling sedikit yang dapat dimiliki polinomial derajat 3, dan mengapa?
3. Apakah x = −1 akar dari x² − 2x − 3, dan bagaimana substitusi serta grafik membuktikannya?