كثيرات الحدود في متغير واحد – التمثيل البياني والقيم والجذور

ماذا تعرض

كثيرة الحدود في متغير واحد مجموع حدود من الصورة aₖxᵏ؛ ودرجتها أعلى قوة معاملها غير صفري، والجذر قيمة تجعل P(x) = 0. ولكثيرة الحدود من الدرجة d على الأكثر d من الجذور. وقسمة P(x) على x − a تعطي خارج قسمة Q(x) وباقيًا R بحيث P(x) = (x − a)Q(x) + R. تنص نظرية الباقي على أن R = P(a)، وتنتج منها نظرية العوامل: يكون x − a عاملًا إذا وفقط إذا كان P(a) = 0. وقسمة كثيرة حدود تكعيبية على العامل المقابل لجذر معروف تترك كثيرة حدود تربيعية يمكن تحليلها لإيجاد الجذرين الآخرين. وفي الصورة التحليلية P(x) = a(x − r₁)^m₁… يكون كل صفر rᵢ نقطة تقاطع مع محور السينات: يقطع المنحنى المحور عندما يكون التكرار فرديًا ويمسّه عندما يكون زوجيًا. ويحدد الحد الرئيس axⁿ سلوك الطرفين، ويحل جدول الإشارات المبني على إشارات العوامل المتباينة P(x) > 0 أو P(x) ≤ 0.

طريقة الاستخدام

في شاشة «المنحنى والجذور» اضبط «الدرجة» والمعاملات من a₃ إلى a₀، ثم اسحب النقطة x على محور السينات لحساب P(x). في شاشة «القسمة» اختر المقسوم عليه x − a أو x² + px + q، و«القسمة المطولة» أو «القسمة التركيبية»، ثم اضغط «الخطوة التالية» لبناء الحل. اسحب a على المنحنى، أو انقر قيمة مرشحة مختبرة، حتى يصبح الباقي 0، واقرأ التحليل الكامل. في شاشة «الصورة التحليلية» اسحب الأصفار على محور السينات، وانقر أحدها واختر «التكرار»، واستخدم «إضافة صفر» أو «حذف صفر»، واضبط a والزوج المركب p ± qi، ثم اختر «المتباينة» أو سياق «حجم صندوق مفتوح».

المعاملات القابلة للتغيير

• درجة كثيرة الحدود الدرجة 1: a₁x + a₀, الدرجة 2: a₂x² + a₁x + a₀, الدرجة 3: a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀
• المعامل a₃ (الدرجة 3) -5–5
• المعامل a₂ -5–5
• المعامل a₁ -10–10
• المعامل a₀ (الحد الثابت) -10–10
• قيمة x الابتدائية -5–5
• الشاشة المنحنى والجذور, القسمة, الصورة التحليلية (الأصفار وتكرارها)
• طريقة القسمة القسمة المطولة, القسمة التركيبية
• المقسوم عليه x − a, x² + px + q
• القيمة a في المقسوم عليه x − a -5–5
• المعامل p في المقسوم عليه x² + px + q -5–5
• المعامل q في المقسوم عليه x² + px + q -5–5
• المعامل الرئيس a (الصورة التحليلية) -3–3
• الأصفار الحقيقية (الصورة التحليلية) مفصولة بالرمز ; – كرّر القيمة لتحصل على صفر متكرر
• الجزء الحقيقي p للزوج المركب p ± qi -3–3
• الجزء التخيلي q للزوج المركب (0 = لا يوجد) 0–3
• المتباينة (الصورة التحليلية) P(x) > 0, P(x) ≥ 0, P(x) < 0, P(x) ≤ 0
• السياق (الصورة التحليلية) بلا سياق (كل x حقيقي), حجم صندوق مفتوح، 0 < x < 4
• إظهار خطوط العوامل

أسئلة للاستكشاف

1. لماذا يكون x = 0 جذرًا لكثيرة الحدود P(x) إذا وفقط إذا كان الحد الثابت a₀ يساوي 0؟
2. ما أصغر عدد من الجذور يمكن أن يكون لكثيرة حدود من الدرجة 3، ولماذا؟
3. هل x = −1 جذر لكثيرة الحدود x² − 2x − 3، وكيف يؤكد ذلك كلٌّ من التعويض والمنحنى؟