Polynômes à une variable – courbe, valeurs et racines

Ce qu’elle montre

Un polynôme à une variable est une somme de termes aₖxᵏ ; son degré est la plus grande puissance de coefficient non nul, et une racine est une valeur où P(x) = 0. Un polynôme de degré d a au plus d racines. Diviser P(x) par x − a donne un quotient Q(x) et un reste R tels que P(x) = (x − a)Q(x) + R. Le théorème du reste affirme que R = P(a), d'où le théorème du facteur : x − a est un facteur exactement quand P(a) = 0. Avec une racine connue, un polynôme de degré 3 se ramène à un trinôme, que l'on factorise ensuite. Sous la forme factorisée P(x) = a(x − r₁)^m₁…, chaque racine rᵢ est une intersection avec l'axe des abscisses : la courbe traverse l'axe si la multiplicité est impaire et le touche si elle est paire. Le terme dominant axⁿ fixe le comportement aux bornes, et un tableau de signes construit à partir des signes des facteurs résout P(x) > 0 ou P(x) ≤ 0.

Mode d’emploi

Sur l'écran Courbe et racines, réglez Degré et les coefficients a₃ à a₀, puis faites glisser le point x le long de l'axe des abscisses pour calculer P(x). Sur l'écran Division, choisissez le diviseur x − a ou x² + px + q et Division posée ou Schéma de Horner, puis appuyez sur Étape suivante pour construire le calcul. Faites glisser a sur la courbe, ou cliquez sur un candidat testé, jusqu'à obtenir un reste nul, et lisez la factorisation complète. Dans l'écran Forme factorisée, faites glisser les racines sur l'axe, touchez-en une et choisissez sa Multiplicité, utilisez Ajouter une racine ou Retirer la racine, réglez a et la paire complexe p ± qi, puis choisissez une Inéquation ou le Contexte de la boîte ouverte.

Paramètres modifiables

• Degré du polynôme Degré 1 : a₁x + a₀, Degré 2 : a₂x² + a₁x + a₀, Degré 3 : a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀
• Coefficient a₃ (degré 3) -5–5
• Coefficient a₂ -5–5
• Coefficient a₁ -10–10
• Coefficient a₀ (terme constant) -10–10
• Valeur initiale de x -5–5
• Écran Courbe et racines, Division, Forme factorisée (racines et multiplicité)
• Méthode de division Division posée, Schéma de Horner
• Diviseur x − a, x² + px + q
• Valeur a du diviseur x − a -5–5
• Coefficient p du diviseur x² + px + q -5–5
• Coefficient q du diviseur x² + px + q -5–5
• Coefficient dominant a (forme factorisée) -3–3
• Racines réelles (forme factorisée), séparées par ; – répétez une valeur pour une racine multiple
• Partie réelle p de la paire complexe p ± qi -3–3
• Partie imaginaire q de la paire complexe (0 = aucune) 0–3
• Inéquation (forme factorisée) P(x) > 0, P(x) ≥ 0, P(x) < 0, P(x) ≤ 0
• Contexte (forme factorisée) Aucun (tout x réel), Volume d'une boîte ouverte, 0 < x < 4
• Afficher les droites des facteurs

Questions à explorer

1. Pourquoi x = 0 est-il racine de P(x) exactement lorsque le terme constant a₀ vaut 0 ?
2. Quel est le plus petit nombre de racines d'un polynôme de degré 3, et pourquoi ?
3. x = −1 est-il racine de x² − 2x − 3, et comment le calcul et la courbe le confirment-ils ?