Polynome mit einer Variablen – Graph, Funktionswerte und Nullstellen

Was sie zeigt

Ein Polynom mit einer Variablen ist eine Summe von Gliedern aₖxᵏ; sein Grad ist die höchste Potenz mit einem Koeffizienten ungleich null, und eine Nullstelle ist ein Wert mit P(x) = 0. Ein Polynom vom Grad d hat höchstens d Nullstellen. Die Division von P(x) durch x − a liefert einen Quotienten Q(x) und einen Rest R mit P(x) = (x − a)Q(x) + R. Der Restsatz besagt R = P(a); daraus folgt der Faktorsatz: x − a ist genau dann ein Faktor, wenn P(a) = 0. Nach Abspalten einer bekannten Nullstelle bleibt bei Grad 3 ein quadratisches Polynom, das sich weiter zerlegen lässt. In der faktorisierten Form P(x) = a(x − r₁)^m₁… ist jede Nullstelle rᵢ ein Schnittpunkt mit der x-Achse: Bei ungerader Vielfachheit schneidet der Graph die Achse, bei gerader berührt er sie. Der Leitterm axⁿ bestimmt das Verhalten im Unendlichen, und eine Vorzeichentabelle aus den Vorzeichen der Faktoren löst P(x) > 0 oder P(x) ≤ 0.

So funktioniert es

Stellen Sie in der Ansicht Graph und Nullstellen den Grad und die Koeffizienten a₃ bis a₀ ein und ziehen Sie den Punkt x entlang der x-Achse, um P(x) zu berechnen. Wählen Sie in der Ansicht Division den Divisor x − a oder x² + px + q sowie Polynomdivision oder Horner-Schema und drücken Sie Nächster Schritt, um die Rechnung aufzubauen. Ziehen Sie a im Graphen oder klicken Sie auf einen getesteten Kandidaten, bis der Rest 0 ist, und lesen Sie die vollständige Zerlegung ab. Ziehen Sie im Bildschirm Faktorisierte Form Nullstellen entlang der x-Achse, tippen Sie eine an und wählen Sie ihre Vielfachheit, nutzen Sie Nullstelle hinzufügen oder Nullstelle entfernen, stellen Sie a und das komplexe Paar p ± qi ein und wählen Sie dann eine Ungleichung oder den Kontext Schachtel.

Einstellbare Parameter

• Grad des Polynoms Grad 1: a₁x + a₀, Grad 2: a₂x² + a₁x + a₀, Grad 3: a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀
• Koeffizient a₃ (Grad 3) -5–5
• Koeffizient a₂ -5–5
• Koeffizient a₁ -10–10
• Koeffizient a₀ (Absolutglied) -10–10
• Startwert von x -5–5
• Ansicht Graph und Nullstellen, Division, Faktorisierte Form (Nullstellen und Vielfachheit)
• Divisionsverfahren Polynomdivision, Horner-Schema
• Divisor x − a, x² + px + q
• Wert a im Divisor x − a -5–5
• Koeffizient p im Divisor x² + px + q -5–5
• Koeffizient q im Divisor x² + px + q -5–5
• Leitkoeffizient a (faktorisierte Form) -3–3
• Reelle Nullstellen (faktorisierte Form), getrennt durch ; – Wert wiederholen für eine mehrfache Nullstelle
• Realteil p des komplexen Paars p ± qi -3–3
• Imaginärteil q des komplexen Paars (0 = keins) 0–3
• Ungleichung (faktorisierte Form) P(x) > 0, P(x) ≥ 0, P(x) < 0, P(x) ≤ 0
• Kontext (faktorisierte Form) Keiner (alle reellen x), Volumen einer offenen Schachtel, 0 < x < 4
• Geraden der Faktoren zeigen

Fragen zum Erkunden

1. Warum ist x = 0 genau dann eine Nullstelle von P(x), wenn das Absolutglied a₀ gleich 0 ist?
2. Wie viele Nullstellen hat ein Polynom vom Grad 3 mindestens, und warum?
3. Ist x = −1 eine Nullstelle von x² − 2x − 3, und wie bestätigen Einsetzen und Graph das?