Polinomios en una variable – gráfica, valor numérico y raíces

Qué muestra

Un polinomio en una variable es una suma de términos aₖxᵏ; su grado es la mayor potencia con coeficiente no nulo, y una raíz es un valor donde P(x) = 0. Un polinomio de grado d tiene como máximo d raíces. Al dividir P(x) entre x − a se obtienen un cociente Q(x) y un resto R con P(x) = (x − a)Q(x) + R. El teorema del resto dice que R = P(a), y de ahí el teorema del factor: x − a es un factor justo cuando P(a) = 0. Al dividir un cúbico por una raíz conocida queda un cuadrático que se factoriza para hallar las demás. En forma factorizada P(x) = a(x − r₁)^m₁…, cada raíz rᵢ es un corte con el eje x: la gráfica cruza el eje si la multiplicidad es impar y lo toca si es par. El término principal axⁿ fija el comportamiento en los extremos, y una tabla de signos construida con los signos de los factores resuelve P(x) > 0 o P(x) ≤ 0.

Cómo usarla

En la pantalla Gráfica y raíces, fija el Grado y los coeficientes de a₃ a a₀, y arrastra el punto x por el eje x para calcular P(x). En la pantalla División, elige el divisor x − a o x² + px + q y División larga o División sintética, y pulsa Siguiente paso para construir el cálculo. Arrastra a en la gráfica, o haz clic en un candidato probado, hasta que el resto sea 0, y lee la factorización completa. En la pantalla Forma factorizada, arrastra raíces por el eje x, toca una y elige su Multiplicidad, usa Añadir raíz o Quitar raíz, ajusta a y el par complejo p ± qi, y luego elige una Desigualdad o el Contexto de la caja abierta.

Parámetros que puedes cambiar

• Grado del polinomio Grado 1: a₁x + a₀, Grado 2: a₂x² + a₁x + a₀, Grado 3: a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀
• Coeficiente a₃ (grado 3) -5–5
• Coeficiente a₂ -5–5
• Coeficiente a₁ -10–10
• Coeficiente a₀ (término independiente) -10–10
• Valor inicial de x -5–5
• Pantalla Gráfica y raíces, División, Forma factorizada (raíces y multiplicidad)
• Método de división División larga, División sintética
• Divisor x − a, x² + px + q
• Valor a del divisor x − a -5–5
• Coeficiente p del divisor x² + px + q -5–5
• Coeficiente q del divisor x² + px + q -5–5
• Coeficiente principal a (forma factorizada) -3–3
• Raíces reales (forma factorizada), separadas por ; – repite un valor para una raíz múltiple
• Parte real p del par complejo p ± qi -3–3
• Parte imaginaria q del par complejo (0 = ninguno) 0–3
• Desigualdad (forma factorizada) P(x) > 0, P(x) ≥ 0, P(x) < 0, P(x) ≤ 0
• Contexto (forma factorizada) Ninguno (todo x real), Volumen de caja abierta, 0 < x < 4
• Mostrar las rectas de los factores

Preguntas para explorar

1. ¿Por qué x = 0 es raíz de P(x) exactamente cuando el término independiente a₀ vale 0?
2. ¿Cuál es el menor número de raíces que puede tener un polinomio de grado 3 y por qué?
3. ¿Es x = −1 raíz de x² − 2x − 3 y cómo lo confirman la sustitución y la gráfica?